次の3つの関数について、与えられた区間における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^3 + 3x^2$ ($-3 \le x \le 2$) (2) $y = -x^3 + x^2 + x$ ($0 \le x \le 2$) (3) $y = x^4 - 2x^3 + 3$ ($-1 \le x \le 2$)

1. 問題の内容

次の3つの関数について、与えられた区間における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^3 + 3x^2$ ($-3 \le x \le 2$)

(2) $y = -x^3 + x^2 + x$ ($0 \le x \le 2$)

(3) $y = x^4 - 2x^3 + 3$ ($-1 \le x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 + 3x^2$ ($-3 \le x \le 2$)

* 導関数を求めます。

$y' = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)$

* $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x(x+2) = 0$ より、$x = 0, -2$

* 区間の端点 $x = -3, 2$ と $y' = 0$ となる $x = 0, -2$ について、$y$ の値を求めます。

$x = -3$ のとき、$y = (-3)^3 + 3(-3)^2 = -27 + 27 = 0$

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$

$x = 0$ のとき、$y = 0^3 + 3(0)^2 = 0$

$x = 2$ のとき、$y = 2^3 + 3(2)^2 = 8 + 12 = 20$

* $y$ の値から最大値と最小値を決定します。

最大値: $20$ ($x = 2$ のとき)

最小値: $0$ ($x = -3, 0$ のとき)

(2) $y = -x^3 + x^2 + x$ ($0 \le x \le 2$)

* 導関数を求めます。

$y' = -3x^2 + 2x + 1$

* $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 2x + 1 = 0$

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

$(3x+1)(x-1) = 0$ より、$x = 1, -\frac{1}{3}$

* 区間の端点 $x = 0, 2$ と $y' = 0$ となる $x = 1$ (区間外の$x = -\frac{1}{3}$は無視します)について、$y$ の値を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = -0^3 + 0^2 + 0 = 0$

$x = 1$ のとき、$y = -1^3 + 1^2 + 1 = -1 + 1 + 1 = 1$

$x = 2$ のとき、$y = -2^3 + 2^2 + 2 = -8 + 4 + 2 = -2$

* $y$ の値から最大値と最小値を決定します。

最大値: $1$ ($x = 1$ のとき)

最小値: $-2$ ($x = 2$ のとき)

(3) $y = x^4 - 2x^3 + 3$ ($-1 \le x \le 2$)

* 導関数を求めます。

$y' = 4x^3 - 6x^2 = 2x^2(2x - 3)$

* $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x^2(2x - 3) = 0$ より、$x = 0, \frac{3}{2}$

* 区間の端点 $x = -1, 2$ と $y' = 0$ となる $x = 0, \frac{3}{2}$ について、$y$ の値を求めます。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^4 - 2(-1)^3 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$

$x = 0$ のとき、$y = 0^4 - 2(0)^3 + 3 = 3$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = (\frac{3}{2})^4 - 2(\frac{3}{2})^3 + 3 = \frac{81}{16} - 2(\frac{27}{8}) + 3 = \frac{81}{16} - \frac{108}{8} + 3 = \frac{81}{16} - \frac{216}{16} + \frac{48}{16} = \frac{-87}{16} = -5.4375$

$x = 2$ のとき、$y = 2^4 - 2(2)^3 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

* $y$ の値から最大値と最小値を決定します。

最大値: $6$ ($x = -1$ のとき)

最小値: $-\frac{87}{16}$ ($x = \frac{3}{2}$ のとき)

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $20$ ($x = 2$ のとき), 最小値: $0$ ($x = -3, 0$ のとき)

(2) 最大値: $1$ ($x = 1$ のとき), 最小値: $-2$ ($x = 2$ のとき)

(3) 最大値: $6$ ($x = -1$ のとき), 最小値: $-\frac{87}{16}$ ($x = \frac{3}{2}$ のとき)