与えられた定積分 $\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x (\log x)^4}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x (\log x)^4}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分法を用います。

$u = \log x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ となります。したがって、$dx = x \, du$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = e$ のとき、$u = \log e = 1$

$x = e^2$ のとき、$u = \log e^2 = 2$

これで、積分は次のようになります。

$$\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x (\log x)^4} = \int_{1}^{2} \frac{x \, du}{x u^4} = \int_{1}^{2} \frac{du}{u^4} = \int_{1}^{2} u^{-4} \, du$$

$u^{-4}$ の積分を計算します。

$$\int u^{-4} \, du = \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3u^3} + C$$

積分範囲を適用します。

$$\int_{1}^{2} u^{-4} \, du = \left[-\frac{1}{3u^3}\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{3(2^3)} - \left(-\frac{1}{3(1^3)}\right) = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3}$$

共通分母24で計算します。

$$-\frac{1}{24} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$$

3. 最終的な答え

$$\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x (\log x)^4} = \frac{7}{24}$$