指数法則 $e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} \times e^{i\beta}$ とオイラーの公式 $e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha$ を用いて、三角関数の加法公式 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ を導出する。

1. 問題の内容

指数法則 $e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} \times e^{i\beta}$ とオイラーの公式 $e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha$ を用いて、三角関数の加法公式

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

を導出する。

2. 解き方の手順

まず、指数法則とオイラーの公式を用いる。

$e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} \times e^{i\beta}$

$e^{i(\alpha+\beta)} = \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)$

$e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha$

$e^{i\beta} = \cos\beta + i\sin\beta$

したがって、

$\cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta) = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)$

右辺を展開する。

$(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = \cos\alpha\cos\beta + i\cos\alpha\sin\beta + i\sin\alpha\cos\beta + i^2\sin\alpha\sin\beta$

$i^2 = -1$ より、

$\cos\alpha\cos\beta + i\cos\alpha\sin\beta + i\sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta)$

左辺と右辺の実部と虚部を比較する。

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

3. 最終的な答え

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$