画像には複数の数学の問題が含まれています。ここでは、積分記号で表現された問題の中から、次の3つの積分を計算します。 * $\int \frac{\log x}{x} dx$ * $\int e^x \sin x dx$ * $\int \frac{dx}{x^2 - a^2}$ * $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2}$ * $\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+1}$

1. 問題の内容

画像には複数の数学の問題が含まれています。ここでは、積分記号で表現された問題の中から、次の3つの積分を計算します。

* $\int \frac{\log x}{x} dx$

* $\int e^x \sin x dx$

* $\int \frac{dx}{x^2 - a^2}$

* $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2}$

* $\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{\log x}{x} dx$

* 置換積分を用います。$u = \log x$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より $du = \frac{dx}{x}$ となります。

* 積分は $\int u \, du$ となり、これを計算すると $\frac{1}{2}u^2 + C$ （$C$ は積分定数）となります。

* $u$ を $\log x$ に戻すと、$\frac{1}{2}(\log x)^2 + C$ となります。

(2) $\int e^x \sin x dx$

* 部分積分を2回用います。$I = \int e^x \sin x dx$ とおきます。

* 1回目の部分積分： $u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = e^x$ なので、

$I = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$

* 2回目の部分積分： $\int e^x \cos x dx$ に対して、$u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = e^x$ なので、

$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx = e^x \cos x + I$

* したがって、$I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)$

* これを整理すると、$2I = e^x \sin x - e^x \cos x$ となり、$I = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$ （$C$ は積分定数）となります。

(3) $\int \frac{dx}{x^2 - a^2}$

* 部分分数分解を用います。$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{(x-a)(x+a)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x+a}$ と分解します。

* $1 = A(x+a) + B(x-a)$ となり、$x=a$ を代入すると $1 = 2aA$, $x=-a$ を代入すると $1 = -2aB$ となるため、$A = \frac{1}{2a}$ , $B = -\frac{1}{2a}$ となります。

* したがって、$\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \int \left(\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a}\right) dx = \frac{1}{2a} (\log|x-a| - \log|x+a|) + C = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$ （$C$ は積分定数）となります。

(4) $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2}$

これは基本的な積分公式として知られています。 $x = \sin\theta$ と置換すると、$dx = \cos\theta d\theta$ となり、積分範囲は $0$ から $\pi/2$ に変わります。 したがって、$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} = \int_0^{\pi/2} d\theta = \left[ \theta \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}$。

(5) $\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+1}$

これは逆三角関数であるarctanの積分です。$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$。

したがって、$\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+1} = \lim_{b\to\infty} \left[ \arctan x \right]_0^b = \lim_{b\to\infty} \arctan b - \arctan 0 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$。

3. 最終的な答え

* $\int \frac{\log x}{x} dx = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C$

* $\int e^x \sin x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$

* $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$

* $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2}$

* $\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+1} = \frac{\pi}{2}$