問題は、与えられた三角関数の関数を微分することです。具体的には、以下の関数を微分する必要があります。 (1) $sin(2x)$ (2) $sin(\frac{1}{3}x)$ (3) $sin(3-2x)$ (4) $sin(\sqrt{x})$ (5) $sin(\frac{1}{x})$ (6) $sin^2(5x)$

1. 問題の内容

問題は、与えられた三角関数の関数を微分することです。具体的には、以下の関数を微分する必要があります。

(1) $sin(2x)$

(2) $sin(\frac{1}{3}x)$

(3) $sin(3-2x)$

(4) $sin(\sqrt{x})$

(5) $sin(\frac{1}{x})$

(6) $sin^2(5x)$

2. 解き方の手順

(1) $sin(2x)$ の微分

合成関数の微分公式 $(sin(f(x)))' = cos(f(x)) \cdot f'(x)$ を用います。$f(x) = 2x$ なので、$f'(x) = 2$ となります。

よって、$(sin(2x))' = cos(2x) \cdot 2 = 2cos(2x)$

(2) $sin(\frac{1}{3}x)$ の微分

$f(x) = \frac{1}{3}x$ なので、$f'(x) = \frac{1}{3}$ となります。

よって、$(sin(\frac{1}{3}x))' = cos(\frac{1}{3}x) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}cos(\frac{1}{3}x)$

(3) $sin(3-2x)$ の微分

$f(x) = 3-2x$ なので、$f'(x) = -2$ となります。

よって、$(sin(3-2x))' = cos(3-2x) \cdot (-2) = -2cos(3-2x)$

(4) $sin(\sqrt{x})$ の微分

$f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ となります。

よって、$(sin(\sqrt{x}))' = cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

(5) $sin(\frac{1}{x})$ の微分

$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$ なので、$f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ となります。

よって、$(sin(\frac{1}{x}))' = cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{cos(\frac{1}{x})}{x^2}$

(6) $sin^2(5x)$ の微分

まず、$u = sin(5x)$ とおくと、$sin^2(5x) = u^2$ となります。

$y = u^2$ を $x$ で微分するには、連鎖律 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

$\frac{dy}{du} = 2u = 2sin(5x)$ です。

$u = sin(5x)$ を $x$ で微分するには、$g(x) = 5x$ とおくと、$u = sin(g(x))$ なので、$u' = cos(g(x)) \cdot g'(x) = cos(5x) \cdot 5 = 5cos(5x)$ となります。

よって、$\frac{dy}{dx} = 2sin(5x) \cdot 5cos(5x) = 10sin(5x)cos(5x)$

三角関数の2倍角の公式 $2sin\theta cos\theta = sin2\theta$ を用いると、$10sin(5x)cos(5x) = 5(2sin(5x)cos(5x)) = 5sin(10x)$

3. 最終的な答え

(1) $(sin(2x))' = 2cos(2x)$

(2) $(sin(\frac{1}{3}x))' = \frac{1}{3}cos(\frac{1}{3}x)$

(3) $(sin(3-2x))' = -2cos(3-2x)$

(4) $(sin(\sqrt{x}))' = \frac{cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

(5) $(sin(\frac{1}{x}))' = -\frac{cos(\frac{1}{x})}{x^2}$

(6) $(sin^2(5x))' = 5sin(10x)$