## 問題の内容

## 問題の内容

問題は、区分的に定義された関数 $f(x)$ について、その導関数 $f'(0)$ の存在を調べ、存在する場合はその値を求めるものです。また、$x=0$ で微分可能かどうかを判定します。

次に、関数 $y=(x+1)^2$ の導関数を定義の式に基づいて求めます。

## 解き方の手順

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1. $f(h)$ の値を求める**

* $h > 0$ のとき、$f(h) = h^2$

* $h < 0$ のとき、$f(h) = -h^2$

* $f(0) = 0^2 = 0$

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2. 右側極限を求める**

右側極限は、$h \to +0$ のときの $\frac{f(h) - f(0)}{h}$ の極限です。

$\lim_{h \to +0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to +0} h = 0$

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3. 左側極限を求める**

左側極限は、$h \to -0$ のときの $\frac{f(h) - f(0)}{h}$ の極限です。

$\lim_{h \to -0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to -0} -h = 0$

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4. $f'(0)$ の存在と値を判定する**

右側極限と左側極限が一致するので、$f'(0)$ は存在し、その値は0です。

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5. $x=0$ での微分可能性を判定する**

$f'(0)$ が存在するので、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能です。

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6. $y=(x+1)^2$ の導関数を定義に基づいて求める**

$\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h+1)^2 - (x+1)^2}{h}$

$(x+h+1)^2 = (x+1)^2 + 2(x+1)h + h^2$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+1)^2 + 2(x+1)h + h^2 - (x+1)^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(x+1)h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2(x+1) + h) = 2(x+1)$

## 最終的な答え

1. $f(h) = [3] = h^2$ ($h>0$ のとき)

2. $f(h) = [4] = -h^2$ ($h<0$ のとき)

3. $f(0) = [5] = 0$

4. $\lim_{h \to +0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = [6] = 0$

5. $\lim_{h \to -0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = [7] = 0$

6. $f'(0)$ は [8]：する (存在する)

7. その値は [9]：0

8. $f(x)$ は $x=0$ で微分可能で [10]：ある

9. $\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{[11] - (x+1)^2}{h}$

ここで、[11] は $(x+h+1)^2$ です。

1

0. $\frac{dy}{dx} = [12] = 2(x+1)$