(1) 関数 $y = x^4 - 6x^2 + 10$ の最小値を求めます。 (2) $-1 \le x \le 2$ のとき、関数 $y = (x^2 - 2x - 1)^2 - 6(x^2 - 2x - 1) + 5$ の最大値、最小値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^4 - 6x^2 + 10$ の最小値を求めます。

(2) $-1 \le x \le 2$ のとき、関数 $y = (x^2 - 2x - 1)^2 - 6(x^2 - 2x - 1) + 5$ の最大値、最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 - 6x^2 + 10$ の最小値を求める。

$x^2 = t$ とおくと、$y = t^2 - 6t + 10$ となる。

$y = (t-3)^2 - 9 + 10 = (t-3)^2 + 1$

$t = x^2 \ge 0$ より、$t = 3$ のとき、$y$ は最小値 $1$ をとる。

このとき、$x^2 = 3$ より、$x = \pm \sqrt{3}$

(2) $y = (x^2 - 2x - 1)^2 - 6(x^2 - 2x - 1) + 5$ の最大値、最小値を求める。

$x^2 - 2x - 1 = u$ とおく。

$y = u^2 - 6u + 5 = (u-3)^2 - 9 + 5 = (u-3)^2 - 4$

$u = x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2$

$-1 \le x \le 2$ のとき、

$x = 1$ で $u$ は最小値 $u = -2$ をとる。

$x = -1$ で $u = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1+2-1 = 2$

$x = 2$ で $u = 2^2 - 2(2) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1$

したがって、$-2 \le u \le 2$ である。

$y = (u-3)^2 - 4$ において、

$u = 2$ のとき、$y = (2-3)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$

$u = -2$ のとき、$y = (-2-3)^2 - 4 = 25 - 4 = 21$

したがって、最大値は $21$, 最小値は $-4$ である。

$y = 21$ のとき、 $u = -2$ なので、 $x^2 - 2x - 1 = -2$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

$y = -4$ のとき、 $u = 3$ なので、 $x^2 - 2x - 1 = 3$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

$1 + \sqrt{5} > 2$, $1 - \sqrt{5} < -1$ なので、範囲外。

$u=-2$の時、$x=1$。

$u=2$の時、$y = (2-3)^2 - 4 = -3$。 $x^2-2x-1 = 2$。 $x^2 - 2x - 3 = 0$。$(x-3)(x+1)=0$。 $x = 3$ または $x = -1$。 $x=-1$は範囲内。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $1$ ($x = \pm \sqrt{3}$ のとき)

(2) 最大値: $21$ ($x = 1$ のとき)、最小値: $-3$ ($x = -1$のとき)