関数 $y = f(x) = e^x$ について、点 $(1,0)$ を通る接線の方程式と、接点の座標を求める問題です。

## 問3(2)の問題

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = e^x$ について、点 $(1,0)$ を通る接線の方程式と、接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 $(1,0)$ が関数 $y = e^x$ 上に存在するか確認します。$f(1) = e^1 = e \neq 0$ なので、点 $(1,0)$ は関数上にありません。したがって、点 $(1,0)$ を通る接線を求める問題と解釈します。

1. 接点の座標を $(t, e^t)$ とおきます。

2. $f(x) = e^x$ の導関数を求めます。$f'(x) = e^x$

3. 接線の方程式を求めます。接線の傾きは $f'(t) = e^t$ なので、接線の方程式は次のようになります。

$y - e^t = e^t(x - t)$

4. この接線が点 $(1,0)$ を通る条件から、$t$ を求めます。

$0 - e^t = e^t(1 - t)$

$-e^t = e^t - te^t$

$te^t = 2e^t$

$t = 2$

5. 接点の座標を求めます。接点の座標は $(2, e^2)$ となります。

6. 接線の方程式を求めます。

$y - e^2 = e^2(x - 2)$

$y = e^2x - 2e^2 + e^2$

$y = e^2x - e^2$

3. 最終的な答え

接点の座標: $(2, e^2)$

接線の方程式: $y = e^2x - e^2$