(1) $\theta$ が第4象限の角で、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。 (2) $-\frac{13}{4}\pi$ の正弦、余弦、正接の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\theta$ が第4象限の角で、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

(2) $-\frac{13}{4}\pi$ の正弦、余弦、正接の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ より、直角三角形の対辺を1、隣辺を2とすると、斜辺は $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ となる。

第4象限では $\sin \theta < 0$、$\cos \theta > 0$ であるから、

$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2)

$-\frac{13}{4}\pi = -3\pi - \frac{\pi}{4} = -2\pi - \pi - \frac{\pi}{4}$

一周（$2\pi$）を無視すると、 $-\frac{13}{4}\pi = -\frac{5}{4}\pi$ と考えることができる。さらに、$-\frac{5}{4}\pi = -\pi - \frac{\pi}{4}$となるので、$-\frac{13}{4}\pi$ の角は第2象限にある。

$\sin(-\frac{13}{4}\pi) = \sin(-\frac{5}{4}\pi) = \sin(-\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(-\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(-\frac{13}{4}\pi) = \cos(-\frac{5}{4}\pi) = \cos(-\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\pi) \cos(-\frac{\pi}{4}) - \sin(-\pi) \sin(-\frac{\pi}{4}) = (-1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-\frac{13}{4}\pi) = \frac{\sin(-\frac{13}{4}\pi)}{\cos(-\frac{13}{4}\pi)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2)

$\sin(-\frac{13}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(-\frac{13}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-\frac{13}{4}\pi) = -1$