(1) 直線 $y = x - 2$ 上にあって、2点A, Bから等距離にある点Pの座標を求める問題。ただし、点Aと点Bの座標は不明。 (2) $\triangle ABP$ の重心Gの座標を求める問題。ただし、点Aと点Bの座標は不明であり、点Pの座標は(1)で求めたものを使用する。

1. 問題の内容

(1) 直線 $y = x - 2$ 上にあって、2点A, Bから等距離にある点Pの座標を求める問題。ただし、点Aと点Bの座標は不明。

(2) $\triangle ABP$ の重心Gの座標を求める問題。ただし、点Aと点Bの座標は不明であり、点Pの座標は(1)で求めたものを使用する。

2. 解き方の手順

(1) 点Pは直線 $y = x - 2$ 上にあるので、Pの座標を $(t, t-2)$ とおくことができる。点A, Bの座標が与えられていないので、ここでは具体的に計算を進めることはできない。画像には $P = (3, 1)$ と書かれているが、これは答えを示しているだけで、どのようにして求めたのかは不明である。

もし点A, Bの座標が与えられていれば、$AP = BP$ を満たすような $t$ を求めることで、点Pの座標を決定できる。

例えば、点Aの座標を $(x_A, y_A)$, 点Bの座標を $(x_B, y_B)$ とすると、

$AP^2 = (t - x_A)^2 + (t - 2 - y_A)^2$

$BP^2 = (t - x_B)^2 + (t - 2 - y_B)^2$

$AP^2 = BP^2$ を解くことで $t$ が求められる。

(2) $\triangle ABP$ の重心Gの座標は、各頂点の座標の平均で求められる。つまり、$G = (\frac{x_A + x_B + x_P}{3}, \frac{y_A + y_B + y_P}{3})$となる。

画像には、x座標の計算として $\frac{-4+3+8}{3} = \frac{7}{3}$と書かれているが、点Aと点Bのx座標が-4と8であることが前提となっている。点Pのx座標は3である。

y座標に関しても同様に、点Aと点Bのy座標が分かれば、点Pのy座標(ここでは1)と合わせて計算できる。

画像には具体的な数値がないため、ここでは$\frac{y_A + y_B + 1}{3}$と表すことしかできない。

3. 最終的な答え

(1) 点Pの座標: $(3, 1)$ (ただし、これは画像に示されている答えであり、導出過程は不明)

(2) 重心Gの座標: $(\frac{-4+3+8}{3}, \frac{y_A + y_B + 1}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{y_A + y_B + 1}{3})$ (点A, Bの座標が不明のため、y座標はこれ以上簡単化できない)