円の接線に関する問題で、角度 $x$ を求める問題です。円周角は $35^\circ$、接線と弦のなす角と弦に対する円周角の差が $22^\circ$ と与えられています。

1. 問題の内容

円の接線に関する問題で、角度 $x$ を求める問題です。円周角は $35^\circ$、接線と弦のなす角と弦に対する円周角の差が $22^\circ$ と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、円の接線と弦のなす角の定理を思い出します。接線 $l$ と弦 $AB$ のなす角 $\angle BAl$ は、弦 $AB$ に対する円周角 $\angle ACB$ に等しくなります。したがって、$\angle BAl = \angle ACB = 35^\circ$ です。

次に、三角形の内角の和は $180^\circ$ であることを利用します。三角形 $ABC$ において、$\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$ が成り立ちます。

ここで、$\angle BAC$ は $22^\circ + x$ に等しく、$\angle ACB = 35^\circ$ です。また、$\angle ABC = \angle AB\ell = 35^\circ$ です。

したがって、$\angle BAC = x + 22^\circ$ なので、三角形の外角の性質より、$x = \angle BAl - 22^\circ$である。

$\angle BAl = 35^\circ$ であるので、$x = 35^\circ - 22^\circ = 13^\circ$ となる。

あるいは、$x + 22^\circ + 35^\circ + \angle CBA = 180^\circ$ を利用することもできます。

$\angle CBA$は接線と弦のなす角の定理より$35^\circ$です。

したがって、

$x + 22^\circ + 35^\circ = 180^\circ - 35^\circ - 35^\circ$

$x + 22^\circ + 35^\circ + \angle CBA = 180^\circ$

$x + 22^\circ + 35^\circ = \angle BAI$

$x+22^\circ +35^\circ + \angle ABC = 180^\circ$

接弦定理より、$\angle ABC = 35^\circ$ であるから、

$x+22^\circ+35^\circ+35^\circ = 180^\circ$

$x+92^\circ = 180^\circ$

$x= 180^\circ - 92^\circ=88^\circ$

という解法は誤りです。

$\angle CBA = 35^\circ$ であることを利用し、三角形 $ABC$ を考えると、

$\angle CAB + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$

$(x + 22^\circ) + 35^\circ + 35^\circ = 180^\circ$

$x + 92^\circ = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 92^\circ$

$x = 88^\circ$

したがって、$x = 13^\circ$は誤り。

3. 最終的な答え

$x = 88^\circ$