2点A(-4, 3), B(8, -5)がある。直線 $y = x - 2$ 上にあって、2点A, Bから等距離にある点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(-4, 3), B(8, -5)がある。直線 $y = x - 2$ 上にあって、2点A, Bから等距離にある点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pは直線 $y = x - 2$ 上にあるので、点Pの座標を $(x, x-2)$ とおくことができる。

点Pから点A, Bまでの距離が等しいので、$AP = BP$ が成り立つ。

距離の公式を用いて、$AP^2 = BP^2$ を計算する。

$AP^2 = (x - (-4))^2 + (x - 2 - 3)^2 = (x + 4)^2 + (x - 5)^2$

$AP^2 = x^2 + 8x + 16 + x^2 - 10x + 25 = 2x^2 - 2x + 41$

$BP^2 = (x - 8)^2 + (x - 2 - (-5))^2 = (x - 8)^2 + (x + 3)^2$

$BP^2 = x^2 - 16x + 64 + x^2 + 6x + 9 = 2x^2 - 10x + 73$

$AP^2 = BP^2$ より、

$2x^2 - 2x + 41 = 2x^2 - 10x + 73$

$-2x + 41 = -10x + 73$

$8x = 32$

$x = 4$

点Pのy座標は $x - 2 = 4 - 2 = 2$ となる。

したがって、点Pの座標は $(4, 2)$ である。

3. 最終的な答え

(4, 2)