$\triangle OAB$ があり、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s, t$ が与えられた条件を満たしながら変化するとき、点 $P$ の存在する範囲を求める問題。 (1) $s \geq 0, t \geq 0, s + t = \frac{2}{3}$ (2) $s \geq 0, t \geq 0, 2s + t = 1$

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ があり、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s, t$ が与えられた条件を満たしながら変化するとき、点 $P$ の存在する範囲を求める問題。

(1) $s \geq 0, t \geq 0, s + t = \frac{2}{3}$

(2) $s \geq 0, t \geq 0, 2s + t = 1$

2. 解き方の手順

(1) $s \geq 0, t \geq 0, s + t = \frac{2}{3}$ の場合：

$s+t = \frac{2}{3}$ より $s = \frac{2}{3}s'$、$t = \frac{2}{3}t'$ とおくと、$s' + t' = 1$ となる。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = \frac{2}{3}s'\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}t'\overrightarrow{OB} = \frac{2}{3}(s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB})$

ここで、$s' + t' = 1$、$s' \geq 0$、$t' \geq 0$ より、点 $Q$ を $\overrightarrow{OQ} = s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB}$ とおくと、点 $Q$ は線分 $AB$ 上を動く。

したがって、$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OQ}$ となり、点 $P$ は線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $C$ と $O$ を結ぶ線分上で、点 $O$ から $\frac{2}{3}$ の距離にある。

よって、点 $P$ の存在する範囲は、線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $C$ を用いて、線分 $OC$ 上である。

(2) $s \geq 0, t \geq 0, 2s + t = 1$ の場合：

$2s + t = 1$ より、$s = \frac{1}{2}s'$ とおくと、$s' + t = 1$ となる。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}s'\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = s'(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}) + t\overrightarrow{OB}$

ここで、$s' + t = 1$、$s' \geq 0$、$t \geq 0$ より、$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA'}$ とおくと、点 $A'$ は線分 $OA$ の中点となる。

よって、$\overrightarrow{OP} = s'\overrightarrow{OA'} + t\overrightarrow{OB}$ となり、点 $P$ は線分 $A'B$ 上を動く。

3. 最終的な答え

(1) 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $C$ とすると、線分 $OC$ 上。

(2) 線分 $OA$ の中点を $A'$ とすると、線分 $A'B$ 上。