双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ （ただし $a>0$, $b>0$）上の点 $P(p, q)$（ただし $p>0$, $q>0$）を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引きます。その直線が漸近線と交わる点を $y$ 座標が大きい方から順に $Q$, $R$ とします。このとき、平行四辺形 $ORPQ$ （$O$ は原点）の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ （ただし $a>0$, $b>0$）上の点 $P(p, q)$（ただし $p>0$, $q>0$）を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引きます。その直線が漸近線と交わる点を $y$ 座標が大きい方から順に $Q$, $R$ とします。このとき、平行四辺形 $ORPQ$ （$O$ は原点）の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、双曲線の漸近線は $y = \frac{b}{a}x$ と $y = -\frac{b}{a}x$ です。

点 $P(p, q)$ を通り、$y = \frac{b}{a}x$ に平行な直線は $y - q = \frac{b}{a}(x - p)$ すなわち $y = \frac{b}{a}x - \frac{b}{a}p + q$ です。

この直線と漸近線 $y = -\frac{b}{a}x$ との交点が $R$ です。

$y$ 座標がより大きい方が $Q$ なので、$Q$ は点 $P(p,q)$ を通り、$y = -\frac{b}{a}x$ に平行な直線 $y - q = -\frac{b}{a}(x - p)$ すなわち $y = -\frac{b}{a}x + \frac{b}{a}p + q$ と漸近線 $y = \frac{b}{a}x$ との交点です。

点 $Q$ の座標を求めます。

$y = \frac{b}{a}x$ と $y = -\frac{b}{a}x + \frac{b}{a}p + q$ を連立して解きます。

$\frac{b}{a}x = -\frac{b}{a}x + \frac{b}{a}p + q$

$\frac{2b}{a}x = \frac{b}{a}p + q$

$x = \frac{a}{2b}(\frac{b}{a}p + q) = \frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}$

$y = \frac{b}{a}x = \frac{b}{a}(\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}) = \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}$

よって、$Q(\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}, \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$ です。

平行四辺形 $ORPQ$ の面積は、ベクトル $\vec{OP}$ と $\vec{OQ}$ の外積の絶対値の2倍です。

$\vec{OP} = (p, q)$

$\vec{OQ} = (\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}, \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

平行四辺形 $ORPQ$ の面積 $S = |p(\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}) - q(\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b})|$

$S = |\frac{bp^2}{2a} + \frac{pq}{2} - \frac{pq}{2} - \frac{aq^2}{2b}| = |\frac{bp^2}{2a} - \frac{aq^2}{2b}| = \frac{1}{2}|\frac{bp^2}{a} - \frac{aq^2}{b}| = \frac{1}{2}|\frac{b^2p^2 - a^2q^2}{ab}|$

点 $P(p, q)$ は双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点なので、$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ が成り立ちます。

$b^2p^2 - a^2q^2 = a^2b^2$

$S = \frac{1}{2}|\frac{a^2b^2}{ab}| = \frac{1}{2}|ab| = \frac{ab}{2}$

（∵ $a>0, b>0$）

3. 最終的な答え

$\frac{ab}{2}$