実数 $t$ に対して、ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ と $\vec{b} = (3, 4)$ が与えられているとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ が最小となる $t$ の値と、その時の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $t$ に対して、ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ と $\vec{b} = (3, 4)$ が与えられているとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ が最小となる $t$ の値と、その時の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} + t\vec{b} = (2, 1) + t(3, 4) = (2 + 3t, 1 + 4t)$

次に、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{a} + t\vec{b}| = \sqrt{(2 + 3t)^2 + (1 + 4t)^2} = \sqrt{4 + 12t + 9t^2 + 1 + 8t + 16t^2} = \sqrt{25t^2 + 20t + 5}$

$f(t) = 25t^2 + 20t + 5$ とおくと、$|\vec{a} + t\vec{b}| = \sqrt{f(t)}$ であり、$f(t)$ が最小となるとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ も最小となります。

$f(t)$ を平方完成します。

$f(t) = 25t^2 + 20t + 5 = 25(t^2 + \frac{4}{5}t) + 5 = 25(t^2 + \frac{4}{5}t + (\frac{2}{5})^2) - 25(\frac{2}{5})^2 + 5 = 25(t + \frac{2}{5})^2 - 25 \cdot \frac{4}{25} + 5 = 25(t + \frac{2}{5})^2 - 4 + 5 = 25(t + \frac{2}{5})^2 + 1$

$f(t)$ は $t = -\frac{2}{5}$ のとき最小値 $1$ をとります。

したがって、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ は $t = -\frac{2}{5}$ のとき最小値 $\sqrt{1} = 1$ をとります。

3. 最終的な答え

$t = -\frac{2}{5}$ のとき最小値 $1$ をとる。