質量5kgの半径の等しい球が、水平方向と90°、30°の傾きをもつなめらかな板の間にあるとき、接触点A, B, C, Dにおける反力の大きさを求める。

1. 問題の内容

質量5kgの半径の等しい球が、水平方向と90°、30°の傾きをもつなめらかな板の間にあるとき、接触点A, B, C, Dにおける反力の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、球にかかる力を考える。球には重力 $W$ と、接触点からの反力 $R_A, R_B, R_C, R_D$ がかかる。問題の図から、右側の球には $R_A, R_B, W$ が、左側の球には $R_C, R_D, W$がかかっている。

それぞれの球について、力のつり合いを考える。

まず、右側の球について考える。

斜面に沿った方向のつり合いは、$R_A = R_B + W\sin{30^\circ}$

斜面に垂直な方向のつり合いは、$W\cos{30^\circ} = R_A \sin{30^\circ} +R_B \sin{30^\circ}$

ここで、$W = mg = 5kg \times 9.8 m/s^2 = 49N$ である。

同様に、左側の球について考える。

水平方向のつり合いは、$R_D = R_C \sin{30^\circ}$

垂直方向のつり合いは、$W = R_C \cos{30^\circ}$

それぞれの力のつり合いの式を解く。

まず、左側の球の式から$R_C$を求める。

$R_C = \frac{W}{\cos{30^\circ}} = \frac{49}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{98}{\sqrt{3}} = \frac{98\sqrt{3}}{3} \approx 56.58N$

次に、$R_D$を求める。

$R_D = R_C \sin{30^\circ} = \frac{98\sqrt{3}}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{3} \approx 28.29N$

次に、右側の球の力のつり合いの式を変形する。

$R_A = R_B + W\sin{30^\circ}$

$W\cos{30^\circ} = (R_A+R_B) \sin{30^\circ}$

$R_A = R_B + 49\times \frac{1}{2} = R_B + 24.5$

$49\times \frac{\sqrt{3}}{2} = (R_A+R_B) \times \frac{1}{2}$

$\frac{49\sqrt{3}}{2} = (R_B+24.5 + R_B)\times \frac{1}{2}$

$49\sqrt{3} = 2R_B + 49$

$2R_B = 49\sqrt{3} - 49$

$R_B = \frac{49(\sqrt{3}-1)}{2} = 24.5(\sqrt{3}-1) \approx 17.9N$

$R_A = R_B + 24.5 = 17.9 + 24.5 \approx 42.4N$

3. 最終的な答え

$R_A = 42.4N$

$R_B = 17.9N$

$R_C = 56.58N$

$R_D = 28.29N$