ある気体が77℃、1.0 x 10^5 Paで7.0 Lの体積を占めている。 (1) 温度を一定にして、圧力を5.0 x 10^5 Paにしたときの体積を求める。 (2) 圧力を一定にして、温度を27℃にしたときの体積を求める。 (3) 温度と体積を一定にして、さらに56gの窒素を加えたときの全圧を求める。

1. 問題の内容

ある気体が77℃、1.0 x 10^5 Paで7.0 Lの体積を占めている。

(1) 温度を一定にして、圧力を5.0 x 10^5 Paにしたときの体積を求める。

(2) 圧力を一定にして、温度を27℃にしたときの体積を求める。

(3) 温度と体積を一定にして、さらに56gの窒素を加えたときの全圧を求める。

2. 解き方の手順

(1) ボイルの法則を用いる。ボイルの法則とは、温度が一定のとき、気体の圧力$P$と体積$V$の積は一定であるという法則である。

$P_1V_1 = P_2V_2$

初期状態: $P_1 = 1.0 \times 10^5$ Pa, $V_1 = 7.0$ L

変化後: $P_2 = 5.0 \times 10^5$ Pa, $V_2 = ?$ L

$V_2 = \frac{P_1V_1}{P_2} = \frac{1.0 \times 10^5 \text{ Pa} \times 7.0 \text{ L}}{5.0 \times 10^5 \text{ Pa}} = \frac{7.0}{5.0} \text{ L} = 1.4 \text{ L}$

(2) シャルルの法則を用いる。シャルルの法則とは、圧力が一定のとき、気体の体積$V$は絶対温度$T$に比例するという法則である。

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

初期状態: $V_1 = 7.0$ L, $T_1 = 77 + 273.15 = 350.15$ K

変化後: $V_2 = ?$ L, $T_2 = 27 + 273.15 = 300.15$ K

$V_2 = \frac{V_1T_2}{T_1} = \frac{7.0 \text{ L} \times 300.15 \text{ K}}{350.15 \text{ K}} \approx \frac{7.0 \times 300}{350} \text{ L} = 6.0 \text{ L}$

(3) 全圧は、もともとの気体の分圧と、追加した窒素の分圧の和になる。

まず、もともとの気体の物質量を$n_1$、追加した窒素の物質量を$n_2$とする。全物質量は$n = n_1 + n_2$となる。

理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ より、$P = \frac{nRT}{V}$である。

もともとの気体の物質量は、$n_1 = \frac{P_1V}{RT_1} = \frac{1.0 \times 10^5 \text{ Pa} \times 7.0 \text{ L}}{R \times 350.15 \text{ K}}$

追加した窒素の物質量は、$n_2 = \frac{56 \text{ g}}{28 \text{ g/mol}} = 2 \text{ mol}$

全圧 $P = \frac{(n_1+n_2)RT}{V} = P_1 + \frac{n_2RT}{V}$

ここで、$P_1 = 1.0 \times 10^5$ Paであり、$V = 7.0$ L、$T = 77 + 273.15 = 350.15$ Kである。

$\frac{n_2RT}{V} = \frac{2 \text{ mol} \times R \times 350.15 \text{ K}}{7.0 \text{ L}} \approx \frac{2 \times 8.314 \times 350}{7} \text{ Pa} \times 10^3 \approx 831.4 \times 10^3 = 831400 \approx 8.314 \times 10^4$ Pa

よって、$P = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa} + 8.314 \times 10^4 \text{ Pa} \approx 1.8314 \times 10^5 \text{ Pa}$

3. 最終的な答え

(1) 1.4 L

(2) 6.0 L

(3) 1.83 x 10^5 Pa