母平均 $\mu = 120$、母標準偏差 $\sigma = 30$ の母集団から、大きさ $n = 100$ の無作為標本を抽出する。 (1) 標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差を求めよ。 (2) 標本平均 $\bar{X}$ が $123$ より大きい値をとる確率を求めよ。

1. 問題の内容

母平均 $\mu = 120$、母標準偏差 $\sigma = 30$ の母集団から、大きさ $n = 100$ の無作為標本を抽出する。

(1) 標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差を求めよ。

(2) 標本平均 $\bar{X}$ が $123$ より大きい値をとる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差 $\sigma_{\bar{X}}$ は、母標準偏差 $\sigma$ と標本サイズ $n$ を用いて、次のように計算できる。

$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

与えられた値を代入する。

$\sigma_{\bar{X}} = \frac{30}{\sqrt{100}} = \frac{30}{10} = 3$

したがって、標本平均の標準偏差は $3$ である。

(2) 標本平均 $\bar{X}$ は近似的に正規分布 $N(\mu, \sigma_{\bar{X}}^2)$ に従う。つまり、$\bar{X} \sim N(120, 3^2)$。

標準化変数 $Z$ は、

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$

で与えられる。$\bar{X} = 123$ のとき、

$Z = \frac{123 - 120}{3} = \frac{3}{3} = 1$

求める確率は $P(\bar{X} > 123) = P(Z > 1)$ である。標準正規分布表を用いて $P(Z > 1)$ を求める。

$P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$

したがって、標本平均が $123$ より大きい値をとる確率は $0.1587$ である。

3. 最終的な答え

(1) 標本平均の標準偏差: $3$

(2) 標本平均が $123$ より大きい値をとる確率: $0.1587$