母平均が100、母標準偏差が40である母集団から、大きさ400の無作為標本を抽出するとき、その標本平均$X$が98より小さい値をとる確率を求める問題です。つまり、$P(X \le 98)$を求めることになります。

1. 問題の内容

母平均が100、母標準偏差が40である母集団から、大きさ400の無作為標本を抽出するとき、その標本平均$X$が98より小さい値をとる確率を求める問題です。つまり、$P(X \le 98)$を求めることになります。

2. 解き方の手順

標本平均$X$は、母平均$\mu$、母標準偏差$\sigma$、標本サイズ$n$に対して、近似的に正規分布$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$に従います。

この問題では、$\mu = 100$, $\sigma = 40$, $n = 400$なので、標本平均$X$は近似的に$N(100, \frac{40^2}{400}) = N(100, 4)$に従います。

$X$を標準化するために、$Z = \frac{X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$を計算します。この場合、$Z = \frac{X - 100}{\frac{40}{\sqrt{400}}} = \frac{X - 100}{\frac{40}{20}} = \frac{X - 100}{2}$となります。

$X \le 98$に対応する$Z$の値を求めます。

$Z = \frac{98 - 100}{2} = \frac{-2}{2} = -1$となります。

したがって、$P(X \le 98) = P(Z \le -1)$となります。

標準正規分布表または関数電卓を用いて、$P(Z \le -1)$の値を求めます。

$P(Z \le -1) \approx 0.1587$

3. 最終的な答え

求める確率は約0.1587です。