$n$個の実数値データ $x_1, x_2, ..., x_n$ および $w_1, w_2, ..., w_n$ に対し、それぞれの平均値を $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$、$\bar{w} = \frac{w_1 + w_2 + ... + w_n}{n}$ とする。 このとき、偏差の積の和 $(x_1 - \bar{x})(w_1 - \bar{w}) + (x_2 - \bar{x})(w_2 - \bar{w}) + ... + (x_n - \bar{x})(w_n - \bar{w})$ が $x_1 w_1 + x_2 w_2 + ... + x_n w_n$ から何を引いたものになるか、選択肢の中から選ぶ問題。

1. 問題の内容

$n$個の実数値データ $x_1, x_2, ..., x_n$ および $w_1, w_2, ..., w_n$ に対し、それぞれの平均値を $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$、$\bar{w} = \frac{w_1 + w_2 + ... + w_n}{n}$ とする。

このとき、偏差の積の和 $(x_1 - \bar{x})(w_1 - \bar{w}) + (x_2 - \bar{x})(w_2 - \bar{w}) + ... + (x_n - \bar{x})(w_n - \bar{w})$ が $x_1 w_1 + x_2 w_2 + ... + x_n w_n$ から何を引いたものになるか、選択肢の中から選ぶ問題。

2. 解き方の手順

偏差の積の和を展開する。

\begin{align*}

\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(w_i - \bar{w}) &= \sum_{i=1}^n (x_i w_i - x_i \bar{w} - \bar{x} w_i + \bar{x} \bar{w}) \\

&= \sum_{i=1}^n x_i w_i - \bar{w} \sum_{i=1}^n x_i - \bar{x} \sum_{i=1}^n w_i + \sum_{i=1}^n \bar{x} \bar{w} \\

&= \sum_{i=1}^n x_i w_i - \bar{w} (n \bar{x}) - \bar{x} (n \bar{w}) + n \bar{x} \bar{w} \\

&= \sum_{i=1}^n x_i w_i - n \bar{x} \bar{w} - n \bar{x} \bar{w} + n \bar{x} \bar{w} \\

&= \sum_{i=1}^n x_i w_i - n \bar{x} \bar{w}

\end{align*}

したがって、$(x_1 - \bar{x})(w_1 - \bar{w}) + (x_2 - \bar{x})(w_2 - \bar{w}) + ... + (x_n - \bar{x})(w_n - \bar{w}) = x_1 w_1 + x_2 w_2 + ... + x_n w_n - n \bar{x} \bar{w}$ となる。

よって、「オ」に当てはまるものは $n \bar{x} \bar{w}$ である。

3. 最終的な答え

$n \bar{x} \bar{w}$