5枚のカードがあり、それぞれに1, 1, 2, 3, 3の数字が書かれています。この5枚のカードを母集団として、大きさ2の標本を抽出します。以下の3つの場合について、標本の総数を求めます。 (1) 1枚ずつ復元抽出し、抜き出した順序を区別する場合 (2) 1枚ずつ非復元抽出し、抜き出した順序を区別する場合 (3) 1枚ずつ非復元抽出し、抜き出した順序を区別しない場合

1. 問題の内容

5枚のカードがあり、それぞれに1, 1, 2, 3, 3の数字が書かれています。この5枚のカードを母集団として、大きさ2の標本を抽出します。以下の3つの場合について、標本の総数を求めます。

(1) 1枚ずつ復元抽出し、抜き出した順序を区別する場合

(2) 1枚ずつ非復元抽出し、抜き出した順序を区別する場合

(3) 1枚ずつ非復元抽出し、抜き出した順序を区別しない場合

2. 解き方の手順

(1) 復元抽出で順序を区別する場合

1回目に引くカードは5種類、2回目に引くカードも5種類あります。したがって、標本の総数は $5 \times 5 = 25$ となります。

(2) 非復元抽出で順序を区別する場合

1回目に引くカードは5種類あります。2回目に引くカードは、1回目に引いたカード以外の4種類あります。したがって、標本の総数は $5 \times 4 = 20$ となります。これは順列 $_5P_2$ と同じです。

(3) 非復元抽出で順序を区別しない場合

非復元抽出で順序を区別する場合の数を2で割るわけではありません。

まず、順序を区別する場合の結果を考えます。同じ数字のカードがあるので、これを区別して考えると、1と1、3と3は同じものです。

順序を区別しない場合、

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

のように組み合わせが考えられます。しかし、同じ数字があるので、もう少し考えます。

カードの種類は1, 2, 3の3種類あります。2枚のカードを選ぶ組み合わせを考える場合、

- 2枚とも同じ数字の場合: (1,1), (3,3) の2通り

- 2枚が異なる数字の場合: (1,2), (1,3), (2,3) の3通り

1が2枚、3が2枚あることを考慮すると、

(1,1)

(3,3)

(1,2)

(1,3)

(2,3)

(1,1)は1通り

(3,3)は1通り

(1,2)は2*1=2通り

(1,3)は2*2=4通り

(2,3)は1*2=2通り

ただし、これは順序を区別した場合なので、区別しない場合は

(1,2), (1,3), (2,3)はそれぞれ1通りです。

したがって、

(1,1), (3,3) の2通り

(1,2), (1,3), (2,3) の3通り

2 + 3 = 5通りの数字の組み合わせがあります。

実際のカードを区別すると、以下の10通りとなります。

(1_1, 1_2),

(1_1, 2),

(1_1, 3_1),

(1_1, 3_2),

(1_2, 2),

(1_2, 3_1),

(1_2, 3_2),

(2, 3_1),

(2, 3_2),

(3_1, 3_2)

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) 20

(3) 10