1枚の硬貨を $n$ 回投げるとき、表の出る相対度数を $R$ とします。 次の各場合について、確率 $P(|R - \frac{1}{2}| \le 0.05)$ の値を求めます。 (1) $n = 100$ (2) $n = 400$ (3) $n = 900$

1. 問題の内容

1枚の硬貨を $n$ 回投げるとき、表の出る相対度数を $R$ とします。

次の各場合について、確率 $P(|R - \frac{1}{2}| \le 0.05)$ の値を求めます。

(1) $n = 100$

(2) $n = 400$

(3) $n = 900$

2. 解き方の手順

硬貨を $n$ 回投げるとき、表が出る回数を $X$ とすると、$X$ は二項分布 $B(n, \frac{1}{2})$ に従います。

$R = \frac{X}{n}$ であり、求める確率は $P(|R - \frac{1}{2}| \le 0.05)$ です。

これは $P(|\frac{X}{n} - \frac{1}{2}| \le 0.05)$ と書き換えられます。

さらに、$P(-\frac{5}{100} \le \frac{X}{n} - \frac{1}{2} \le \frac{5}{100})$ となり、$P(\frac{1}{2} - \frac{1}{20} \le \frac{X}{n} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{20})$、つまり $P(\frac{9n}{20} \le X \le \frac{11n}{20})$ を求めることになります。

$n$ が大きい場合、二項分布は正規分布で近似できます。

$X$ の期待値 $E(X) = n \times \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$、分散 $V(X) = n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$、標準偏差 $\sigma = \sqrt{\frac{n}{4}} = \frac{\sqrt{n}}{2}$ です。

$Z = \frac{X - \frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}}{2}}$ とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に近似的に従います。

求める確率は

$P(\frac{9n}{20} \le X \le \frac{11n}{20}) = P(\frac{\frac{9n}{20} - \frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}}{2}} \le Z \le \frac{\frac{11n}{20} - \frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}}{2}})$

$= P(\frac{-\frac{n}{20}}{\frac{\sqrt{n}}{2}} \le Z \le \frac{\frac{n}{20}}{\frac{\sqrt{n}}{2}}) = P(-\frac{\sqrt{n}}{10} \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{10})$

(1) $n = 100$ のとき、$\frac{\sqrt{n}}{10} = \frac{\sqrt{100}}{10} = \frac{10}{10} = 1$ なので、$P(-1 \le Z \le 1) = 2 \times P(0 \le Z \le 1) \approx 2 \times 0.3413 = 0.6826$

(2) $n = 400$ のとき、$\frac{\sqrt{n}}{10} = \frac{\sqrt{400}}{10} = \frac{20}{10} = 2$ なので、$P(-2 \le Z \le 2) = 2 \times P(0 \le Z \le 2) \approx 2 \times 0.4772 = 0.9544$

(3) $n = 900$ のとき、$\frac{\sqrt{n}}{10} = \frac{\sqrt{900}}{10} = \frac{30}{10} = 3$ なので、$P(-3 \le Z \le 3) = 2 \times P(0 \le Z \le 3) \approx 2 \times 0.49865 = 0.9973$

3. 最終的な答え

(1) $n=100$ のとき、0.6826

(2) $n=400$ のとき、0.9544

(3) $n=900$ のとき、0.9973