与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-2}$ (4) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-2}$

(4) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母に現れる無理数を解消することです。分母が $a+b\sqrt{c}$ または $a-b\sqrt{c}$ の形をしている場合は、$a-b\sqrt{c}$ または $a+b\sqrt{c}$ を分母と分子の両方に掛けることで、$a^2 - b^2c$ の形にし、無理数を解消します。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ の場合

分母と分子に $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の場合

分母と分子に $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{5-3} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-2}$ の場合

分母と分子に $\sqrt{6}+2$ を掛けます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-2} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{2\sqrt{18}+4\sqrt{3}}{6-4} = \frac{2\sqrt{9 \cdot 2}+4\sqrt{3}}{2} = \frac{2(3\sqrt{2})+4\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ の場合

分母と分子に $\sqrt{3}+1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(3) $3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

(4) $2+\sqrt{3}$