一般項が $a_k = 2k - 1$ である数列を、第 $n$ 群が $(2n - 1)$ 個の項を含むように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の初項を $n$ の式で表せ。 (2) 第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$ を $n$ の式で表せ。 (3) 2013 は第何群の第何項か。

1. 問題の内容

一般項が $a_k = 2k - 1$ である数列を、第 $n$ 群が $(2n - 1)$ 個の項を含むように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の初項を $n$ の式で表せ。

(2) 第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$ を $n$ の式で表せ。

(3) 2013 は第何群の第何項か。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の初項を求める。

まず、第 $(n-1)$ 群までの項の個数の合計を求める。

第 $k$ 群の項数は $2k - 1$ であるから、第 $(n-1)$ 群までの項数の合計は

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = (n-1)n - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2$

となる。

したがって、第 $n$ 群の初項は、元の数列の第 $(n-1)^2 + 1$ 項である。

$a_k = 2k - 1$ より、第 $(n-1)^2 + 1$ 項は

$2((n-1)^2 + 1) - 1 = 2(n-1)^2 + 2 - 1 = 2(n^2 - 2n + 1) + 1 = 2n^2 - 4n + 2 + 1 = 2n^2 - 4n + 3$

である。

(2) 第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$ を求める。

第 $n$ 群は $2n - 1$ 個の項を含む。

第 $n$ 群の初項は $2n^2 - 4n + 3$ である。

等差数列の和の公式 $S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ を利用する。

第 $n$ 群の末項は、元の数列の第 $(n-1)^2 + (2n - 1) = n^2 - 2n + 1 + 2n - 1 = n^2$ 項である。

第 $n^2$ 項は $2n^2 - 1$ である。

したがって、第 $n$ 群の総和 $S(n)$ は

$S(n) = \frac{2n-1}{2}((2n^2 - 4n + 3) + (2n^2 - 1)) = \frac{2n-1}{2}(4n^2 - 4n + 2) = (2n-1)(2n^2 - 2n + 1) = 4n^3 - 4n^2 + 2n - 2n^2 + 2n - 1 = 4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$

となる。

(3) 2013 が第何群の第何項か求める。

まず、$2k - 1 = 2013$ となる $k$ を求める。

$2k = 2014$ より $k = 1007$

したがって、2013 は元の数列の第 1007 項である。

第 $n$ 群までの項数の合計を $T(n)$ とすると、$T(n) = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2\frac{n(n+1)}{2} - n = n^2 + n - n = n^2$ である。

$n^2 < 1007$ かつ $(n+1)^2 > 1007$ となる $n$ を探す。

$31^2 = 961$, $32^2 = 1024$ より、$n = 31$ である。

したがって、2013 は第 32 群に含まれる。

第 31 群までの項数は $31^2 = 961$ であるから、2013 は第 32 群の $1007 - 961 = 46$ 番目の項である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の初項: $2n^2 - 4n + 3$

(2) 第 $n$ 群の総和: $4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$

(3) 2013 は第 32 群の第 46 項