問題は以下の通りです。 1. 関数 $\phi(x, y, z) = x^2y + 2xz$ について、以下の問題を解く。 (1) 点 $P(1, -2, 1)$ を含む等位面を求める。 (2) 点 $P(1, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

1. 関数 $\phi(x, y, z) = x^2y + 2xz$ について、以下の問題を解く。

(1) 点 $P(1, -2, 1)$ を含む等位面を求める。

(2) 点 $P(1, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を求める。

2. ベクトル $\mathbf{A} = (x \sin y, 2x \cos y, 2z^2)$ の発散および回転を求める。

2. 解き方の手順

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1. (1) 等位面を求める**

等位面とは、関数 $\phi(x, y, z)$ が一定の値をとる面のことを指します。点 $P(1, -2, 1)$ を含む等位面は、$\phi(1, -2, 1)$ を計算することで求めることができます。

$\phi(1, -2, 1) = (1)^2(-2) + 2(1)(1) = -2 + 2 = 0$

したがって、求める等位面は $\phi(x, y, z) = 0$ となります。つまり、$x^2y + 2xz = 0$ が答えです。

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1. (2) 単位法線ベクトルを求める**

まず、$\phi(x, y, z)$ の勾配ベクトルを計算します。勾配ベクトルは、等位面に対する法線ベクトルを与えます。

$\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xy + 2z$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 2x$

したがって、

$\nabla \phi = (2xy + 2z, x^2, 2x)$

点 $P(1, -2, 1)$ における勾配ベクトルは、

$\nabla \phi (1, -2, 1) = (2(1)(-2) + 2(1), (1)^2, 2(1)) = (-4 + 2, 1, 2) = (-2, 1, 2)$

次に、このベクトルの大きさを計算します。

$||\nabla \phi (1, -2, 1)|| = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

最後に、単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は、勾配ベクトルをその大きさで割ることで得られます。

$\mathbf{n} = \frac{\nabla \phi (1, -2, 1)}{||\nabla \phi (1, -2, 1)||} = \frac{(-2, 1, 2)}{3} = \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$

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2. ベクトル $\mathbf{A}$ の発散と回転を求める**

ベクトル $\mathbf{A} = (x \sin y, 2x \cos y, 2z^2)$ の発散 (divergence) は、次のように計算されます。

$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial}{\partial x} (x \sin y) + \frac{\partial}{\partial y} (2x \cos y) + \frac{\partial}{\partial z} (2z^2)$

$\frac{\partial}{\partial x} (x \sin y) = \sin y$

$\frac{\partial}{\partial y} (2x \cos y) = -2x \sin y$

$\frac{\partial}{\partial z} (2z^2) = 4z$

したがって、

$\nabla \cdot \mathbf{A} = \sin y - 2x \sin y + 4z$

ベクトル $\mathbf{A}$ の回転 (curl) は、次のように計算されます。

$\nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial}{\partial y} (2z^2) - \frac{\partial}{\partial z} (2x \cos y), \frac{\partial}{\partial z} (x \sin y) - \frac{\partial}{\partial x} (2z^2), \frac{\partial}{\partial x} (2x \cos y) - \frac{\partial}{\partial y} (x \sin y) \right)$

$\frac{\partial}{\partial y} (2z^2) = 0$

$\frac{\partial}{\partial z} (2x \cos y) = 0$

$\frac{\partial}{\partial z} (x \sin y) = 0$

$\frac{\partial}{\partial x} (2z^2) = 0$

$\frac{\partial}{\partial x} (2x \cos y) = 2 \cos y$

$\frac{\partial}{\partial y} (x \sin y) = x \cos y$

したがって、

$\nabla \times \mathbf{A} = (0 - 0, 0 - 0, 2 \cos y - x \cos y) = (0, 0, (2 - x) \cos y)$

3. 最終的な答え

1. (1) 点 $P(1, -2, 1)$ を含む等位面: $x^2 y + 2xz = 0$

(2) 点 $P(1, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $\mathbf{n}$: $\left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$

2. ベクトル $\mathbf{A}$ の発散: $\sin y - 2x \sin y + 4z$

ベクトル $\mathbf{A}$ の回転: $(0, 0, (2 - x) \cos y)$