この問題は、次の2つの条件を満たす整数の組 $(x, y, z, w)$ の個数を求めるものです。 (1) $x+y+z+w = 10$ を満たす非負整数の組 $(x, y, z, w)$ の個数を求めよ。 (2) $x+y+z+w = 14$ を満たす自然数の組 $(x, y, z, w)$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

この問題は、次の2つの条件を満たす整数の組 $(x, y, z, w)$ の個数を求めるものです。

(1) $x+y+z+w = 10$ を満たす非負整数の組 $(x, y, z, w)$ の個数を求めよ。

(2) $x+y+z+w = 14$ を満たす自然数の組 $(x, y, z, w)$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x+y+z+w = 10$ を満たす非負整数の組 $(x, y, z, w)$ の個数

この問題は、重複組み合わせの問題として考えることができます。10個のものを4つのグループ $(x, y, z, w)$ に分ける方法の数を求めることと同じです。仕切り棒を使うと、10個の丸と3本の仕切り棒を並べる順列の数になります。

したがって、求める個数は、

$$$$

{}_{10+4-1}C_{4-1} = {}_{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286

$$$$

(2) $x+y+z+w = 14$ を満たす自然数の組 $(x, y, z, w)$ の個数

$x, y, z, w$ は自然数なので、それぞれ $x = x' + 1, y = y' + 1, z = z' + 1, w = w' + 1$ とおきます。ここで、$x', y', z', w'$ は非負整数です。

すると、$x+y+z+w = 14$ は、

$(x'+1) + (y'+1) + (z'+1) + (w'+1) = 14$ となります。

これを整理すると、$x' + y' + z' + w' = 10$ となります。

したがって、この式を満たす非負整数の組 $(x', y', z', w')$ の個数を求めれば良いです。

これは、(1)と同じタイプの問題で、求める個数は、

$$$$

{}_{10+4-1}C_{4-1} = {}_{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286

$$$$

3. 最終的な答え

(1) 286個

(2) 286個