$\sqrt{45a}$ が整数となるような、2桁の自然数 $a$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{45a}$ が整数となるような、2桁の自然数 $a$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{45a}$ を簡単にします。

$45 = 3^2 \times 5$ なので、$\sqrt{45a} = \sqrt{3^2 \times 5 \times a} = 3\sqrt{5a}$ となります。

$\sqrt{45a}$ が整数となるためには、$5a$ がある整数の2乗にならなければなりません。

つまり、$5a = k^2$ （$k$ は整数）となる必要があります。

この式を変形すると $a = \frac{k^2}{5}$ となります。

$a$ が自然数であるためには、$k^2$ が 5 で割り切れなければなりません。

したがって、$k$ は 5 の倍数である必要があります。

$k = 5n$ （$n$ は整数）とおくと、$a = \frac{(5n)^2}{5} = \frac{25n^2}{5} = 5n^2$ となります。

問題文より、$a$ は2桁の自然数なので、$10 \le a \le 99$ を満たす必要があります。

$10 \le 5n^2 \le 99$ を満たす $n$ を求めます。

$10 \le 5n^2$ より、$2 \le n^2$ なので、$n \ge \sqrt{2} \approx 1.414$

$5n^2 \le 99$ より、$n^2 \le \frac{99}{5} = 19.8$ なので、$n \le \sqrt{19.8} \approx 4.45$

$n$ は整数なので、$2 \le n \le 4$ となります。

したがって、$n = 2, 3, 4$ の場合を調べます。

* $n = 2$ のとき、$a = 5 \times 2^2 = 5 \times 4 = 20$

* $n = 3$ のとき、$a = 5 \times 3^2 = 5 \times 9 = 45$

* $n = 4$ のとき、$a = 5 \times 4^2 = 5 \times 16 = 80$

3. 最終的な答え

$a = 20, 45, 80$