与えられた式を簡単にします。 (1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{5-\sqrt{24}}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡単にします。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{5-\sqrt{24}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ を簡単にします。

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形を利用します。

$4+2\sqrt{3}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形と考えると、$a+b = 4$、$ab = 3$ となります。

$a=3$、$b=1$ とすると、$a+b = 3+1 = 4$、$ab = 3 \times 1 = 3$ となり条件を満たします。

よって、

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3+1+2\sqrt{3 \times 1}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{1})^2} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{5-\sqrt{24}}$ を簡単にします。

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$ の形を利用します。

$\sqrt{5-\sqrt{24}} = \sqrt{5-2\sqrt{6}}$

$a+b = 5$、$ab = 6$ となる $a$、$b$ を探します。

$a=3$、$b=2$ とすると、$a+b = 3+2 = 5$、$ab = 3 \times 2 = 6$ となり条件を満たします。

よって、

$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{3+2-2\sqrt{3 \times 2}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}-\sqrt{2}| = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$