30以下の自然数のうち、3の倍数の集合をA、4の倍数の集合をBとするとき、$n(A \cup B)$を求めよ。ここで、$n(X)$は集合Xの要素の個数を表す。

1. 問題の内容

30以下の自然数のうち、3の倍数の集合をA、4の倍数の集合をBとするとき、$n(A \cup B)$を求めよ。ここで、$n(X)$は集合Xの要素の個数を表す。

2. 解き方の手順

集合Aは3の倍数なので、$A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}$。

集合Bは4の倍数なので、$B = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}$。

集合$A \cap B$は3の倍数かつ4の倍数、つまり12の倍数の集合なので、$A \cap B = \{12, 24\}$。

集合$A \cup B$の要素の個数は、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$で求められる。

まず、$n(A)$を求める。

$n(A) = 30 \div 3 = 10$

次に、$n(B)$を求める。

$n(B) = 30 \div 4 = 7.5$ だが、小数点以下は切り捨てるので、$n(B) = 7$

最後に、$n(A \cap B)$を求める。

$n(A \cap B) = 30 \div 12 = 2.5$ だが、小数点以下は切り捨てるので、$n(A \cap B) = 2$

したがって、$n(A \cup B)$は以下のようになる。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 10 + 7 - 2 = 15$

3. 最終的な答え

15