次の数式を簡単な形に変形します。 (1) $\sqrt{(-2) \times (-8)}$ (2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$ (3) $\frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^4}}$ (ただし、$a > 0$) (4) $\log_3 \sqrt[3]{9}$ (5) $\log_2 36 - 2\log_2 2$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の数式を簡単な形に変形します。

(1) $\sqrt{(-2) \times (-8)}$

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$

(3) $\frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^4}}$ (ただし、$a > 0$)

(4) $\log_3 \sqrt[3]{9}$

(5) $\log_2 36 - 2\log_2 2$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{(-2) \times (-8)}$

まず、根号の中身を計算します。

$(-2) \times (-8) = 16$

したがって、$\sqrt{(-2) \times (-8)} = \sqrt{16} = 4$

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$

展開公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を利用します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2$

$= 3 + 2\sqrt{18} + 6$

$= 9 + 2\sqrt{9 \times 2}$

$= 9 + 2 \times 3 \sqrt{2}$

$= 9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^4}}$

まず、根号を指数で表します。

$\frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^4}} = \frac{a^2 \times a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いて分子を計算します。

$a^2 \times a^{\frac{1}{2}} = a^{2 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}}$

したがって、

$\frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^4}} = \frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}}$

指数の法則 $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ を用いて計算します。

$\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{4}{3}} = a^{\frac{15}{6} - \frac{8}{6}} = a^{\frac{7}{6}}$

(4) $\log_3 \sqrt[3]{9}$

$\sqrt[3]{9}$ を指数の形で表します。

$\sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}$

したがって、

$\log_3 \sqrt[3]{9} = \log_3 3^{\frac{2}{3}}$

対数の性質 $\log_a a^x = x$ を用いて計算します。

$\log_3 3^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$

(5) $\log_2 36 - 2\log_2 2$

対数の性質 $c \log_a b = \log_a b^c$ を用いて、

$2\log_2 2 = \log_2 2^2 = \log_2 4$

したがって、

$\log_2 36 - 2\log_2 2 = \log_2 36 - \log_2 4$

対数の性質 $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ を用いて計算します。

$\log_2 36 - \log_2 4 = \log_2 \frac{36}{4} = \log_2 9$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $9 + 6\sqrt{2}$

(3) $a^{\frac{7}{6}}$

(4) $\frac{2}{3}$

(5) $\log_2 9$