次の3つの計算問題を解きます。 (1) $\sqrt{-3} \times \sqrt{-6}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-6}}$ (3) $(\sqrt{-3} + \sqrt{-5})(\sqrt{-3} - \sqrt{-5})$

1. 問題の内容

次の3つの計算問題を解きます。

(1) $\sqrt{-3} \times \sqrt{-6}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-6}}$

(3) $(\sqrt{-3} + \sqrt{-5})(\sqrt{-3} - \sqrt{-5})$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{-3} \times \sqrt{-6}$ の計算

$\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$

$\sqrt{-6} = \sqrt{6}i$

したがって、

$\sqrt{-3} \times \sqrt{-6} = (\sqrt{3}i) \times (\sqrt{6}i) = \sqrt{3} \times \sqrt{6} \times i^2 = \sqrt{18} \times (-1) = 3\sqrt{2} \times (-1) = -3\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-6}}$ の計算

$\sqrt{-6} = \sqrt{6}i$

したがって、

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}i} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}i} \times \frac{i}{i} = \frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{6}i^2} = \frac{\sqrt{2}i}{-\sqrt{6}} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}i = - \sqrt{\frac{2}{6}}i = - \sqrt{\frac{1}{3}}i = - \frac{1}{\sqrt{3}}i = - \frac{\sqrt{3}}{3}i$

(3) $(\sqrt{-3} + \sqrt{-5})(\sqrt{-3} - \sqrt{-5})$ の計算

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形です。

したがって、

$(\sqrt{-3} + \sqrt{-5})(\sqrt{-3} - \sqrt{-5}) = (\sqrt{-3})^2 - (\sqrt{-5})^2 = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{-3} \times \sqrt{-6} = -3\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-6}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}i$

(3) $(\sqrt{-3} + \sqrt{-5})(\sqrt{-3} - \sqrt{-5}) = 2$