2次方程式 $3x^2 - x + 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha - \beta)^2$ (3) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - x + 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$

$\alpha \beta = \frac{6}{3} = 2$

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (\frac{1}{3})^2 - 2(2) = \frac{1}{9} - 4 = \frac{1 - 36}{9} = -\frac{35}{9}$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (\frac{1}{3})^2 - 4(2) = \frac{1}{9} - 8 = \frac{1 - 72}{9} = -\frac{71}{9}$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = (\frac{1}{3})^3 - 3(2)(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 = \frac{1 - 54}{27} = -\frac{53}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -\frac{35}{9}$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = -\frac{71}{9}$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{53}{27}$