与えられた複素数の計算を行い、$a + bi$ の形にせよ。 (1) $\frac{5+i}{2+3i}$ (2) $\frac{4-i}{3-2i}$ (3) $\frac{1}{2-i}$ (4) $\frac{1}{i}$

はい、承知いたしました。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算を行い、$a + bi$ の形にせよ。

(1) $\frac{5+i}{2+3i}$

(2) $\frac{4-i}{3-2i}$

(3) $\frac{1}{2-i}$

(4) $\frac{1}{i}$

2. 解き方の手順

複素数の分母に複素数がある場合、分母の共役複素数を分母と分子に掛けることで分母を実数化し、$a+bi$ の形に変形する。

(1)

$\frac{5+i}{2+3i} = \frac{(5+i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{10 - 15i + 2i - 3i^2}{4 - 9i^2}$

$i^2 = -1$ なので、

$\frac{10 - 13i + 3}{4 + 9} = \frac{13 - 13i}{13} = 1 - i$

(2)

$\frac{4-i}{3-2i} = \frac{(4-i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{12 + 8i - 3i - 2i^2}{9 - 4i^2}$

$i^2 = -1$ なので、

$\frac{12 + 5i + 2}{9 + 4} = \frac{14 + 5i}{13} = \frac{14}{13} + \frac{5}{13}i$

(3)

$\frac{1}{2-i} = \frac{1(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{2+i}{4 - i^2}$

$i^2 = -1$ なので、

$\frac{2+i}{4 + 1} = \frac{2+i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$

(4)

$\frac{1}{i} = \frac{1(-i)}{i(-i)} = \frac{-i}{-i^2}$

$i^2 = -1$ なので、

$\frac{-i}{1} = -i = 0 - i$

3. 最終的な答え

(1) $1 - i$

(2) $\frac{14}{13} + \frac{5}{13}i$

(3) $\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$

(4) $0 - i$