長方形ABCDがあり、点PはAを出発してAB上を毎秒1cmで動き、点QはBを出発してBC上を毎秒2cmで動く。三角形PBQの面積が20cm²になるのは、点PがAを出発してから何秒後か？AB = 10cm, AD = 20cm。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点PはAを出発してAB上を毎秒1cmで動き、点QはBを出発してBC上を毎秒2cmで動く。三角形PBQの面積が20cm²になるのは、点PがAを出発してから何秒後か？AB = 10cm, AD = 20cm。

2. 解き方の手順

まず、点PがAを出発してからの時間を $x$ 秒とする。

すると、PBの長さは $10 - x$ cm、BQの長さは $2x$ cmと表せる。

三角形PBQの面積は、(底辺 × 高さ) / 2 で求められるので、

$$\frac{1}{2} (10 - x) (2x) = 20$$

この式を解いて $x$ を求める。

$$(10 - x) (2x) = 40$$

$$20x - 2x^2 = 40$$

$$2x^2 - 20x + 40 = 0$$

$$x^2 - 10x + 20 = 0$$

解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(20)}}{2(1)}$$

$$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{2}$$

$$x = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2}$$

$$x = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2}$$

$$x = 5 \pm \sqrt{5}$$

$x = 5 + \sqrt{5}$と$x = 5 - \sqrt{5}$ の2つの解が得られた。ここで、$x$は点PがAを出発してからBに到達するまでの時間なので、$0 \le x \le 10$を満たす必要がある。また、$Q$はBを出発してCに到達するまでの時間なので、$0 \le 2x \le 20$より$0 \le x \le 10$を満たす必要がある。

$x = 5 + \sqrt{5}$ のとき、$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、 $x \approx 5 + 2.236 = 7.236$ 。

$x = 5 - \sqrt{5}$ のとき、$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$x \approx 5 - 2.236 = 2.764$ 。

どちらの解も0から10の間に含まれるので、2つの解はどちらも正しい。

3. 最終的な答え

$5 + \sqrt{5}$ 秒後 と $5 - \sqrt{5}$ 秒後