(1) $x^3 - 27 = 0$ を解け。 (2) $x^4 + 2x^2 - 3 = 0$ を解け。

1. 問題の内容

(1) $x^3 - 27 = 0$ を解け。

(2) $x^4 + 2x^2 - 3 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 - 27 = 0$ は、$x^3 - 3^3 = 0$ と書き換えられます。

因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 0$ となります。

したがって、$x - 3 = 0$ または $x^2 + 3x + 9 = 0$ です。

$x - 3 = 0$ より、$x = 3$ が得られます。

$x^2 + 3x + 9 = 0$ を解くために、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$ となります。

(2)

$x^4 + 2x^2 - 3 = 0$ を解きます。

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 + 2X - 3 = 0$ となります。

$(X + 3)(X - 1) = 0$ より、$X = -3$ または $X = 1$ です。

したがって、$x^2 = -3$ または $x^2 = 1$ です。

$x^2 = -3$ より、$x = \pm \sqrt{-3} = \pm \sqrt{3}i$ です。

$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3, \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

オ: 3, カ: -3, キ: 3, ク: 3, ケ: 2

(2) $x = \pm \sqrt{3}i, \pm 1$

コ: 3, サ: 1