4次方程式 $x^4 + ax^3 - 9x^2 - 2x + b = 0$ が、$x = -1$ と $x = 2$ を解にもつとき、定数 $a$ と $b$ の値を求め、残りの解を求めよ。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 + ax^3 - 9x^2 - 2x + b = 0$ が、$x = -1$ と $x = 2$ を解にもつとき、定数 $a$ と $b$ の値を求め、残りの解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = -1$ と $x = 2$ が解であることから、$x = -1$ と $x = 2$ を方程式に代入して、$a$ と $b$ に関する連立方程式を立てます。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^4 + a(-1)^3 - 9(-1)^2 - 2(-1) + b = 0$

$1 - a - 9 + 2 + b = 0$

$-a + b - 6 = 0$

$a - b = -6$ ...(1)

$x = 2$ を代入すると、

$(2)^4 + a(2)^3 - 9(2)^2 - 2(2) + b = 0$

$16 + 8a - 36 - 4 + b = 0$

$8a + b - 24 = 0$

$8a + b = 24$ ...(2)

(1) + (2) より、

$a - b + 8a + b = -6 + 24$

$9a = 18$

$a = 2$

(1) に $a = 2$ を代入すると、

$2 - b = -6$

$b = 8$

したがって、$a = 2$、$b = 8$ となります。

方程式は $x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 2x + 8 = 0$ となります。

$x = -1$ と $x = 2$ が解なので、$x + 1$ と $x - 2$ を因数に持ちます。したがって、$(x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$ も因数に持ちます。

$x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 2x + 8$ を $x^2 - x - 2$ で割ると、

$x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 2x + 8 = (x^2 - x - 2)(x^2 + 3x - 4)$

$x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)$

よって、

$x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 2x + 8 = (x + 1)(x - 2)(x + 4)(x - 1) = 0$

残りの解は $x = -4$ と $x = 1$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 8$

残りの解：$x = -4, 1$