十の位の数字が $a$ 、一の位の数字が $b$ である2桁の自然数 $N$ がある。$N$ の十の位の数字と一の位の数字を入れ替えてできる自然数を $M$ とする。$N^2 - M^2 = 693$ であるとき、自然数 $N$ を求めよ。

1. 問題の内容

十の位の数字が $a$ 、一の位の数字が $b$ である2桁の自然数 $N$ がある。$N$ の十の位の数字と一の位の数字を入れ替えてできる自然数を $M$ とする。$N^2 - M^2 = 693$ であるとき、自然数 $N$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$N$ と $M$ を $a$ と $b$ を用いて表す。

$N = 10a + b$

$M = 10b + a$

次に、$N^2 - M^2$ を因数分解する。

$N^2 - M^2 = (N + M)(N - M)$

これに $N = 10a + b$ と $M = 10b + a$ を代入する。

$N + M = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$

$N - M = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$

したがって、

$(N + M)(N - M) = 11(a + b) \cdot 9(a - b) = 99(a + b)(a - b) = 693$

両辺を $99$ で割る。

$(a + b)(a - b) = \frac{693}{99} = 7$

$a$ と $b$ は自然数なので、$a + b$ と $a - b$ も整数である。また、$a+b > a-b$である。7は素数なので、

$a + b = 7$

$a - b = 1$

この連立方程式を解く。2式を足すと $2a = 8$ となり、$a = 4$ となる。

$a = 4$ を $a + b = 7$ に代入すると、$4 + b = 7$ となり、$b = 3$ となる。

よって、$N = 10a + b = 10(4) + 3 = 43$

3. 最終的な答え

43