与えられた式 $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

この式は交代式であるため、$(x-y)$, $(y-z)$, $(z-x)$ のいずれかを因数に持ちます。

式全体は3次なので、これらの因子の他に1次式が因数として存在すると考えられます。

まず、$x=y$ のとき式が0になることを確認します。

$x=y$を代入すると

$x^3(x-z) + x^3(z-x) + z^3(x-x) = x^4 - x^3z + x^3z - x^4 + 0 = 0$

同様に、$y=z$のときと、$z=x$のときも式が0になることが確認できます。したがって、$(x-y)$, $(y-z)$, $(z-x)$ を因数に持ちます。

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

となることを示します。

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = x^3y - x^3z + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y$

この式は $(x-y)$, $(y-z)$, $(z-x)$ を因数に持つことが分かっているので、

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = (x-y)(y-z)(z-x)Q(x, y, z)$ とおけます。

ここで $Q(x, y, z)$ は $x, y, z$ についての1次式である必要があります。なぜなら元の式が4次式であり、$(x-y)(y-z)(z-x)$ が3次式だからです。

また、元の式は $x, y, z$ について対称なので、$Q(x, y, z)$ も対称式である必要があります。

したがって、$Q(x, y, z) = k(x+y+z)$ （kは定数）の形をしているはずです。

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = k(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

$x^3y$の係数を比較することで、$k$の値を求めます。

左辺の$x^3y$の係数は1です。

右辺を展開して$x^3y$の項を考えると、$x^3y$が出てくるのは$(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$を展開したときだけです。

右辺で$x^3y$の係数が出てくるのは、$k(x \cdot y \cdot (-x) \cdot x)= k(-x^3y)$.

したがって、 $-k=1$なので$k=-1$となります。

したがって、

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

3. 最終的な答え

$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$