この問題は、正弦波が$x$軸の正の向きに伝わる時の、媒質の単振動に関する問題です。特に、以下の内容を求めます。 (1) 原点$(x=0)$における媒質の、時刻$t$における変位$y$を、角振動数$\omega$を用いて表す。 (2) (1)の式を、振幅$A$、周期$T$、時刻$t$を用いて表す。 (3) 原点より$x$だけ離れた点にある媒質は、原点にある媒質と比べて時間がいくら遅れて単振動をするか。 (4) 位置$x$にある媒質の、時刻$t$における変位$y$を表す式を書く。 (5) この正弦波が速さ$v$で$x$軸の負の向きへ進むとき、(4)の式はどのようになるか。

## 回答

1. 問題の内容

この問題は、正弦波が$x$軸の正の向きに伝わる時の、媒質の単振動に関する問題です。特に、以下の内容を求めます。

(1) 原点$(x=0)$における媒質の、時刻$t$における変位$y$を、角振動数$\omega$を用いて表す。

(2) (1)の式を、振幅$A$、周期$T$、時刻$t$を用いて表す。

(3) 原点より$x$だけ離れた点にある媒質は、原点にある媒質と比べて時間がいくら遅れて単振動をするか。

(4) 位置$x$にある媒質の、時刻$t$における変位$y$を表す式を書く。

(5) この正弦波が速さ$v$で$x$軸の負の向きへ進むとき、(4)の式はどのようになるか。

2. 解き方の手順

(1) 原点における媒質の変位

時刻$t=0$で原点の媒質が振動の中心を上向きに通過しているので、変位$y$は正弦関数(sin)で表されます。振幅は$A$、角振動数は$\omega$なので、

$y = A \sin(\omega t)$

(2) (1)の式を$A, T, t$で表す

角振動数$\omega$と周期$T$の関係は、

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

したがって、(1)の式は、

$y = A \sin(\frac{2\pi}{T} t)$

(3) 原点より$x$だけ離れた点にある媒質の遅れ

正弦波は速さ$v$で伝わるので、$x$だけ離れた点に伝わるまでに、

$t' = \frac{x}{v}$

の時間遅れが生じます。

(4) 位置$x$にある媒質の変位

(3)より、位置$x$の媒質の振動は、原点より$\frac{x}{v}$だけ遅れています。したがって、時刻$t$における位置$x$の媒質の変位$y$は、

$y = A \sin\{\omega (t - \frac{x}{v})\}$

または、(2)の結果を使って

$y = A \sin\{\frac{2\pi}{T} (t - \frac{x}{v})\}$

ここで、$\frac{T}{v}$は波長$\lambda$に等しいので、$\lambda = Tv$より

$y = A \sin\{2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})\}$

(5) 正弦波が負の向きに進む場合

正弦波が負の向きに進む場合は、$x$を$-x$に置き換えることで得られます。したがって、

$y = A \sin\{\omega (t + \frac{x}{v})\}$

または、

$y = A \sin\{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v})\}$

または、

$y = A \sin\{2\pi (\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda})\}$

3. 最終的な答え

(1) $y = A \sin(\omega t)$

(2) $y = A \sin(\frac{2\pi}{T} t)$

(3) $\frac{x}{v}$

(4) $y = A \sin\{\omega (t - \frac{x}{v})\} = A \sin\{\frac{2\pi}{T} (t - \frac{x}{v})\} = A \sin\{2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})\}$

(5) $y = A \sin\{\omega (t + \frac{x}{v})\} = A \sin\{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v})\} = A \sin\{2\pi (\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda})\}$