68人の人にA, B, Cの3都市への旅行経験を調査した結果、全員が少なくとも1つの都市に行ったことがある。BとCの両方に行った人は21人、CとAの両方に行った人は19人、AとBの両方に行った人は25人である。BとCの少なくとも一方に行った人は59人、CとAの少なくとも一方に行った人は56人、AとBの少なくとも一方に行った人は60人である。 (1) A, B, Cの各都市へ行ったことのある人の数をそれぞれ求める。 (2) A, B, Cの全ての都市に行ったことのある人の数を求める。

1. 問題の内容

68人の人にA, B, Cの3都市への旅行経験を調査した結果、全員が少なくとも1つの都市に行ったことがある。BとCの両方に行った人は21人、CとAの両方に行った人は19人、AとBの両方に行った人は25人である。BとCの少なくとも一方に行った人は59人、CとAの少なくとも一方に行った人は56人、AとBの少なくとも一方に行った人は60人である。

(1) A, B, Cの各都市へ行ったことのある人の数をそれぞれ求める。

(2) A, B, Cの全ての都市に行ったことのある人の数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

Aに行った人の数を$n(A)$、Bに行った人の数を$n(B)$、Cに行った人の数を$n(C)$とする。

AとBの両方に行った人の数を$n(A \cap B)$、BとCの両方に行った人の数を$n(B \cap C)$、CとAの両方に行った人の数を$n(C \cap A)$とする。

AとBの少なくとも一方に行った人の数を$n(A \cup B)$、BとCの少なくとも一方に行った人の数を$n(B \cup C)$、CとAの少なくとも一方に行った人の数を$n(C \cup A)$とする。

A, B, Cの全ての都市に行った人の数を$n(A \cap B \cap C)$とする。

全体の人数を$n(U)$とする。

問題文より、

$n(U) = 68$

$n(B \cap C) = 21$

$n(C \cap A) = 19$

$n(A \cap B) = 25$

$n(B \cup C) = 59$

$n(C \cup A) = 56$

$n(A \cup B) = 60$

包除原理より、

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

これらに値を代入すると、

$59 = n(B) + n(C) - 21$

$56 = n(C) + n(A) - 19$

$60 = n(A) + n(B) - 25$

よって、

$n(B) + n(C) = 80$ ...(1)

$n(C) + n(A) = 75$ ...(2)

$n(A) + n(B) = 85$ ...(3)

(2)+(3)-(1)より、

$2n(A) = 75 + 85 - 80 = 80$

$n(A) = 40$

(1)+(3)-(2)より、

$2n(B) = 80 + 85 - 75 = 90$

$n(B) = 45$

(1)+(2)-(3)より、

$2n(C) = 80 + 75 - 85 = 70$

$n(C) = 35$

したがって、Aに行った人は40人、Bに行った人は45人、Cに行った人は35人。

(2)

包除原理より、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

全体の人数は68人なので、$n(A \cup B \cup C) = 68$

$68 = 40 + 45 + 35 - 25 - 21 - 19 + n(A \cap B \cap C)$

$68 = 120 - 65 + n(A \cap B \cap C)$

$68 = 55 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 68 - 55 = 13$

したがって、A, B, Cの全ての都市に行った人は13人。

3. 最終的な答え

(1) Aに行った人は40人、Bに行った人は45人、Cに行った人は35人。

(2) A, B, Cの全ての都市に行った人は13人。