$-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ の範囲の角 $\theta$ に対して $\cos \theta = \frac{4}{5}$ が成り立つとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ の範囲の角 $\theta$ に対して $\cos \theta = \frac{4}{5}$ が成り立つとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

$\cos \theta = \frac{4}{5}$ をこの式に代入すると、

$\sin^2 \theta + (\frac{4}{5})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{16}{25} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{16}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{9}{25}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{25}}$

$\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$

ここで、$-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ という条件を考慮します。この範囲では、$\sin \theta$ は負の値をとります。なぜなら、この範囲は単位円の第4象限に相当し、第4象限では $y$ 座標（すなわち $\sin \theta$ の値）が負になるからです。

したがって、$\sin \theta = - \frac{3}{5}$ が正しい答えとなります。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{3}{5}$