与えられた2次方程式 $9x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$ を解け。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $9x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式は $9x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$ である。これは、

$(3x)^2 - 2(3x)(\frac{\sqrt{3}}{3}) + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 1 = 0$

と変形できる。

さらに変形すると、

$(3x - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 - \frac{3}{9} + 1 = 0$

$(3x - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 - \frac{1}{3} + 1 = 0$

$(3x - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + \frac{2}{3} = 0$

$(3x - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 = -\frac{2}{3}$

となる。

別の解き方としては、因数分解による方法がある。

$9x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = (3x - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + \frac{2}{3} = 0$

これは実数解を持たない。

しかし、$9x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = (3x - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = (3x - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 0$と考えれば、

$3x - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$

$3x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{9}$

となる。

また、2次方程式の解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使う。

$a = 9, b = -2\sqrt{3}, c = 1$

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4(9)(1)}}{2(9)}$

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 36}}{18}$

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{-24}}{18}$

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm 2i\sqrt{6}}{18}$

$x = \frac{\sqrt{3} \pm i\sqrt{6}}{9}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{9} \pm \frac{\sqrt{6}}{9}i$

もし問題文が $9x^2-6\sqrt{3}x+3 = 0$ であれば、$3(3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1) = 0$となり、$3(\sqrt{3}x - 1)^2 = 0$ より、$x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$となる。

もし問題文が $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$であれば、$(\sqrt{3}x - 1)^2 = 0$なので、$x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\sqrt{3}}{9}$ (重解)

または

$x = \frac{\sqrt{3}}{9} \pm \frac{\sqrt{6}}{9}i$