問題は、以下の対数関数の式を計算して簡単にすることです。 (3) $\log_2{18} - \log_2{12}$ (4) $\log_5{2} - \log_{25}{\frac{1}{20}}$

## 対数関数の計算問題

1. 問題の内容

問題は、以下の対数関数の式を計算して簡単にすることです。

(3) $\log_2{18} - \log_2{12}$

(4) $\log_5{2} - \log_{25}{\frac{1}{20}}$

2. 解き方の手順

(3) 対数関数の引き算は、真数の割り算に変換できます。

$\log_a{b} - \log_a{c} = \log_a{\frac{b}{c}}$の公式を使います。

$\log_2{18} - \log_2{12} = \log_2{\frac{18}{12}}$

$\frac{18}{12}$ を約分します。

$\log_2{\frac{18}{12}} = \log_2{\frac{3}{2}}$

(4) まず $\log_{25}{\frac{1}{20}}$ を底を5とする対数に変換します。

$\log_{a^n}{b} = \frac{1}{n}\log_a{b}$ の公式を使います。

$\log_{25}{\frac{1}{20}} = \log_{5^2}{\frac{1}{20}} = \frac{1}{2}\log_5{\frac{1}{20}}$

$\log_5{2} - \log_{25}{\frac{1}{20}} = \log_5{2} - \frac{1}{2}\log_5{\frac{1}{20}}$

$\frac{1}{2}\log_5{\frac{1}{20}}$ を $\log_5$ の形にします。

$\frac{1}{2}\log_5{\frac{1}{20}} = \log_5{(\frac{1}{20})^{\frac{1}{2}}} = \log_5{\frac{1}{\sqrt{20}}}$

$\log_5{2} - \log_5{\frac{1}{\sqrt{20}}} = \log_5{\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{20}}}} = \log_5{2\sqrt{20}}$

$\sqrt{20}$ を簡単にします。

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

$\log_5{2\sqrt{20}} = \log_5{2 \times 2\sqrt{5}} = \log_5{4\sqrt{5}} = \log_5{4 \cdot 5^{1/2}}$

$\log_5{4} + \log_5{\sqrt{5}} = \log_5{4} + \frac{1}{2} \log_5{5} = \log_5{4} + \frac{1}{2} \cdot 1 = \log_5{4} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(3) $\log_2{\frac{3}{2}}$

(4) $\log_5{4} + \frac{1}{2}$

または

(4) $\log_5{4\sqrt{5}}$