$0 < \alpha < \pi$ のとき、 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ における関数 $y = \sin(\theta + \alpha)$ の最大値を求める問題です。さらに、$\frac{\pi}{4} < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ と $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ の場合に、関数 $y = \sin(\theta + \alpha)$ が最大値をとる $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \pi$ のとき、 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ における関数 $y = \sin(\theta + \alpha)$ の最大値を求める問題です。さらに、$\frac{\pi}{4} < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ と $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ の場合に、関数 $y = \sin(\theta + \alpha)$ が最大値をとる $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{4}$ のとき

$\theta$ の範囲が $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ なので、 $\theta + \alpha$ の範囲は $\alpha \leq \theta + \alpha \leq \frac{\pi}{4} + \alpha$ となります。

$0 < \alpha \leq \frac{\pi}{4}$ の場合、$\frac{\pi}{4} + \alpha \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ となり、$\theta + \alpha$ は $\frac{\pi}{2}$ に到達することができます。したがって、$y = \sin(\theta + \alpha)$ の最大値は $\theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$ のときに取ります。つまり、$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ となります。ただし、 $\theta \leq \frac{\pi}{4}$ という条件があるので、$\frac{\pi}{2} - \alpha \leq \frac{\pi}{4}$ となる $\alpha$ を考えると、$\alpha \geq \frac{\pi}{4}$ となり、$0 < \alpha \leq \frac{\pi}{4}$ の仮定に矛盾します。

したがって、$\theta + \alpha$ は $\frac{\pi}{4} + \alpha$ が最大となるため、$\theta = \frac{\pi}{4}$ で $y = \sin(\theta + \alpha)$ が最大値を取ります。

(2) $\frac{\pi}{4} < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ のとき

$\theta + \alpha$ の範囲は $\alpha \leq \theta + \alpha \leq \frac{\pi}{4} + \alpha$ となります。

$\frac{\pi}{4} < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ の場合、$\frac{\pi}{4} + \alpha \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$ となります。

$\theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$ となる $\theta$ を考えると、$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ です。

ここで、$\frac{\pi}{4} < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ より、 $0 \leq \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{4}$ となり、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{4}$ を満たします。したがって、$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ で最大値を取ります。

(3) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ のとき

$\theta + \alpha$ の範囲は $\alpha \leq \theta + \alpha \leq \frac{\pi}{4} + \alpha$ となります。

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ の場合、$\alpha > \frac{\pi}{2}$ なので、$\theta + \alpha$ は $\frac{\pi}{2}$ を超えます。

また、$\frac{\pi}{4} + \alpha < \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ となります。

$\sin x$ は $x = \frac{\pi}{2}$ で最大値 1 を取り、$\alpha > \frac{\pi}{2}$ なので、$\theta = 0$ のときに $\theta + \alpha = \alpha$ となり、$\sin (\alpha)$ を取ります。

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のときに $\theta + \alpha = \frac{\pi}{4} + \alpha$ となり、$\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha)$ を取ります。

$\theta + \alpha$ が $\frac{\pi}{2}$ に近い方が $\sin(\theta + \alpha)$ は大きくなるので、$\theta = 0$ の方が $\frac{\pi}{2}$ に近いので、$\theta = 0$ で最大値を取ります。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{\pi}{4}$

イ: $\frac{\pi}{2} - \alpha$

ウ: $0$