関数 $f(x) = x^2 \sin 2x$ の第5次導関数 $f^{(5)}(x)$ を計算し、その結果を用いて $f^{(5)}(0)$ の値を求める問題です。$f^{(5)}(x)$ は $\cos 2x$ と $\sin 2x$ の線形結合で表され、$f^{(5)}(0)$ は $f^{(5)}(x)$ に $x=0$ を代入した値です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \sin 2x$ の第5次導関数 $f^{(5)}(x)$ を計算し、その結果を用いて $f^{(5)}(0)$ の値を求める問題です。$f^{(5)}(x)$ は $\cos 2x$ と $\sin 2x$ の線形結合で表され、$f^{(5)}(0)$ は $f^{(5)}(x)$ に $x=0$ を代入した値です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 \sin 2x$ の導関数を繰り返し計算します。

\begin{align*}

f(x) &= x^2 \sin 2x \\

f'(x) &= 2x \sin 2x + 2x^2 \cos 2x \\

f''(x) &= 2 \sin 2x + 4x \cos 2x + 4x \cos 2x - 4x^2 \sin 2x \\

&= 2 \sin 2x + 8x \cos 2x - 4x^2 \sin 2x \\

f'''(x) &= 4 \cos 2x + 8 \cos 2x - 16x \sin 2x - 8x \sin 2x - 8x^2 \cos 2x \\

&= 12 \cos 2x - 24x \sin 2x - 8x^2 \cos 2x \\

f^{(4)}(x) &= -24 \sin 2x - 24 \sin 2x - 48x \cos 2x - 16x \cos 2x + 16x^2 \sin 2x \\

&= -48 \sin 2x - 64x \cos 2x + 16x^2 \sin 2x \\

f^{(5)}(x) &= -96 \cos 2x - 64 \cos 2x + 128x \sin 2x + 32x \sin 2x + 32x^2 \cos 2x \\

&= -160 \cos 2x + 160x \sin 2x + 32x^2 \cos 2x \\

&= (32x^2 - 160) \cos 2x + 160x \sin 2x

\end{align*}

したがって、$f^{(5)}(x) = (32x^2 - 160) \cos 2x + 160x \sin 2x$ となります。

次に、$f^{(5)}(0)$ を計算します。

$f^{(5)}(0) = (32(0)^2 - 160) \cos(2 \cdot 0) + 160(0) \sin(2 \cdot 0) = -160 \cdot 1 + 0 = -160$

3. 最終的な答え

$f^{(5)}(x) = (32x^2 - 160) \cos 2x + 160x \sin 2x$

$f^{(5)}(0) = -160$