与えられた選択肢から、以下の問いに答える問題です。 (1) $(a+2b)^3$ の展開式と、$(a+2b)^3 - 6ab(a+2b)$ を計算する。 (2) (1)の結果を利用して、$a^3 + 8b^3 + c^3 - 6abc = (a+2b+c)(\boxed{3})$となる$\boxed{3}$を求める。 (3) (2)を利用して、$a = x-y$, $2b = y-z$, $c = z-x$ とおいたとき、$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた選択肢から、以下の問いに答える問題です。

(1) $(a+2b)^3$ の展開式と、$(a+2b)^3 - 6ab(a+2b)$ を計算する。

(2) (1)の結果を利用して、$a^3 + 8b^3 + c^3 - 6abc = (a+2b+c)(\boxed{3})$となる$\boxed{3}$を求める。

(3) (2)を利用して、$a = x-y$, $2b = y-z$, $c = z-x$ とおいたとき、$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

$(a+2b)^3$ の展開式は、$a^3 + 3a^2(2b) + 3a(2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$ です。したがって、$\boxed{1}$ に入るのは選択肢の④ $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$ です。

次に、

$(a+2b)^3 - 6ab(a+2b) = (a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3) - (6a^2b + 12ab^2) = a^3 + 8b^3$

したがって、$\boxed{2}$ に入るのは選択肢の② $a^3 + 8b^3$ です。

(2)

(1)の結果から、$a^3 + 8b^3 = (a+2b)^3 - 6ab(a+2b)$ がわかります。

$a^3 + 8b^3 + c^3 - 6abc = (a+2b)^3 - 6ab(a+2b) + c^3 - 6abc = (a+2b+c)((a+2b)^2 - (a+2b)c + c^2) - 6ab(a+2b) - 6abc$

与えられた式 $a^3 + 8b^3 + c^3 - 6abc = (a+2b+c)(\boxed{3})$ を変形すると、

$a^3 + (2b)^3 + c^3 - 3 a (2b) c = (a+2b+c)(a^2 + (2b)^2 + c^2 - a(2b) - (2b)c - ca)$

$a^3 + 8b^3 + c^3 - 6abc = (a+2b+c)(a^2 + 4b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - ca)$.

したがって、$\boxed{3}$ に入るのは選択肢の④ $a^2 + 4b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - ca$ です。

(3)

(2)の結果を利用します。$a = x-y$, $2b = y-z$, $c = z-x$ を代入すると、

$a+2b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = 0$

したがって、

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 - 6(x-y)(\frac{y-z}{2})(z-x) = 0 \times [(x-y)^2+...]$

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 6(x-y)(\frac{y-z}{2})(z-x)$

$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

したがって、$\boxed{4}$ に入るのは選択肢の⑤ $3(x-y)(y-z)(z-x)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\boxed{1}$: ④

(1) $\boxed{2}$: ②

(2) $\boxed{3}$: ④

(3) $\boxed{4}$: ⑤