与えられた式を簡略化する問題です。 式は以下です。 $\frac{1 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} + \frac{\sqrt{3} + 4 + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} + 2)(2 + \sqrt{5})}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。

式は以下です。

$\frac{1 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} + \frac{\sqrt{3} + 4 + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} + 2)(2 + \sqrt{5})}$

2. 解き方の手順

まず、第一項の分母を展開します。

$(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6}$

次に、第一項の分子を展開します。

$1 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

次に、第二項の分母を展開します。

$(\sqrt{3} + 2)(2 + \sqrt{5}) = 2\sqrt{3} + \sqrt{15} + 4 + 2\sqrt{5}$

次に、第二項の分子を展開します。

$\sqrt{3} + 4 + \sqrt{5}$

したがって、与えられた式は、

$\frac{1 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}} + \frac{\sqrt{3} + 4 + \sqrt{5}}{4 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + \sqrt{15}}$

しかし、式を単純化するために、部分分数分解を試みます。

$\frac{1+ \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1+ \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{1+ \sqrt{2}}{(1+ \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1+ \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{1}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})} + \frac{1}{1+ \sqrt{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\frac{1}{1+ \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$

よって、第一項目は $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{3} - 1$

$\frac{\sqrt{3} + 4 + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} + 2)(2 + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{3} + 2 + 2 + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} + 2)(2 + \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{3} + 2) + (2 + \sqrt{5})}{(\sqrt{3} + 2)(2 + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3} + 2)(2 + \sqrt{5})} + \frac{2+\sqrt{5}}{(\sqrt{3} + 2)(2 + \sqrt{5})} = \frac{1}{2 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{3}+2}$

$\frac{1}{2 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5-4} = \sqrt{5} - 2$

$\frac{1}{\sqrt{3} + 2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$

よって、第二項目は $(\sqrt{5} - 2) + (2 - \sqrt{3}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

$\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{5} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} - 1$