$a$ は正の定数とする。連立不等式 $\begin{cases} |2x-5| \le 2a \\ 2x-4 \ge 6(x-2) \end{cases}$ を満たす整数 $x$ が、ちょうど3個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。連立不等式

$\begin{cases} |2x-5| \le 2a \\ 2x-4 \ge 6(x-2) \end{cases}$

を満たす整数 $x$ が、ちょうど3個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式:

$|2x-5| \le 2a$ より、

$-2a \le 2x-5 \le 2a$

$5-2a \le 2x \le 5+2a$

$\frac{5-2a}{2} \le x \le \frac{5+2a}{2}$

2つ目の不等式:

$2x-4 \ge 6(x-2)$

$2x-4 \ge 6x-12$

$-4x \ge -8$

$x \le 2$

よって、連立不等式を満たす $x$ の範囲は

$\frac{5-2a}{2} \le x \le 2$

この範囲に整数 $x$ がちょうど3個存在するためには、その整数は 0, 1, 2 である必要があります。したがって、

$-1 < \frac{5-2a}{2} \le 0$ が必要です。

$-1 < \frac{5-2a}{2} \le 0$

$-2 < 5-2a \le 0$

$-7 < -2a \le -5$

$\frac{5}{2} \le a < \frac{7}{2}$

$x=0, 1, 2$ の3つの整数が不等式を満たすとき、$\frac{5-2a}{2}$ は $-1$ より大きく、0以下である必要があります。

$\frac{5-2a}{2} \le 0$ より、$5-2a \le 0$ つまり $a \ge \frac{5}{2}$

$\frac{5-2a}{2} > -1$ より、$5-2a > -2$ つまり $2a < 7$ つまり $a < \frac{7}{2}$

したがって、$\frac{5}{2} \le a < \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2} \le a < \frac{7}{2}$