(1) $a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、$a - \frac{1}{a}$ の値を求める。 (2) $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、 ① $x^3 - 2x^2$ の値を求める。 ② $x^4 - 3x^3$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、$a - \frac{1}{a}$ の値を求める。

(2) $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、

① $x^3 - 2x^2$ の値を求める。

② $x^4 - 3x^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$

$3^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$

$9 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$

$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = (a^2 + \frac{1}{a^2}) - 2$

$(a - \frac{1}{a})^2 = 7 - 2 = 5$

$a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{5}$

(2)

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ より、 $2x = 3 - \sqrt{5}$。したがって、 $2x - 3 = -\sqrt{5}$。

両辺を2乗すると、$(2x - 3)^2 = (-\sqrt{5})^2$ より、 $4x^2 - 12x + 9 = 5$。よって、$4x^2 - 12x + 4 = 0$。両辺を4で割ると、$x^2 - 3x + 1 = 0$。

したがって、$x^2 = 3x - 1$。

① $x^3 - 2x^2 = x(x^2) - 2x^2 = x(3x - 1) - 2(3x - 1) = 3x^2 - x - 6x + 2 = 3x^2 - 7x + 2 = 3(3x - 1) - 7x + 2 = 9x - 3 - 7x + 2 = 2x - 1 = 2(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) - 1 = 3 - \sqrt{5} - 1 = 2 - \sqrt{5}$

② $x^4 - 3x^3 = x^2(x^2 - 3x) = x^2(-1) = -x^2 = -(3x - 1) = -3x + 1 = -3(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) + 1 = \frac{-9 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{5}$

(2)

① $x^3 - 2x^2 = 2 - \sqrt{5}$

② $x^4 - 3x^3 = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}$