$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき、① $x^3 - 2x^2$ と ② $x^4 - 3x^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき、① $x^3 - 2x^2$ と ② $x^4 - 3x^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$を変形する。

$2x = 3 - \sqrt{5}$

$\sqrt{5} = 3 - 2x$

両辺を2乗すると

$5 = (3 - 2x)^2$

$5 = 9 - 12x + 4x^2$

$4x^2 - 12x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

① $x^3 - 2x^2$ の値を求める。

$x^2 = 3x - 1$

$x^3 = x \cdot x^2 = x(3x - 1) = 3x^2 - x = 3(3x - 1) - x = 9x - 3 - x = 8x - 3$

したがって、

$x^3 - 2x^2 = (8x - 3) - 2(3x - 1) = 8x - 3 - 6x + 2 = 2x - 1$

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$を代入すると

$2x - 1 = 2(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) - 1 = 3 - \sqrt{5} - 1 = 2 - \sqrt{5}$

② $x^4 - 3x^3$ の値を求める。

$x^3 = 8x - 3$ (上記で求めた)

$x^4 = x \cdot x^3 = x(8x - 3) = 8x^2 - 3x = 8(3x - 1) - 3x = 24x - 8 - 3x = 21x - 8$

したがって、

$x^4 - 3x^3 = (21x - 8) - 3(8x - 3) = 21x - 8 - 24x + 9 = -3x + 1$

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$を代入すると

$-3x + 1 = -3(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) + 1 = \frac{-9 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

① $x^3 - 2x^2 = 2 - \sqrt{5}$

② $x^4 - 3x^3 = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}$